数学建模课件.pdf

哈尔滨理工大学哈尔滨理工大学 应用数学系应用数学系 数数 学学 建建 模模 数学是知识的工具，亦是其它知识工具的泉源。 勒内笛卡尔 数学建模数学建模 数学建模数学建模课程自上个世纪八十年代初进入我国大学课堂，历时三十余课程自上个世纪八十年代初进入我国大学课堂，历时三十余 年，至今已发展成一门各类高校面向理工科学生开设的基础课。年，至今已发展成一门各类高校面向理工科学生开设的基础课。 课程形式：课程形式：选修课、必修课（公共基础课或学科专业课）。选修课、必修课（公共基础课或学科专业课）。 课程特点：课程特点：理论与实践紧密结合、思想与方法协调统一。理论与实践紧密结合、思想与方法协调统一。 一方面讲授数学建模的基本概念、常用方法和模型建立过程、求解方法，一方面讲授数学建模的基本概念、常用方法和模型建立过程、求解方法， 另一方面通过建模案例讲授数学建模的主要思想、实施过程和求解实际问另一方面通过建模案例讲授数学建模的主要思想、实施过程和求解实际问 题的方法与技巧。题的方法与技巧。 课程目的：课程目的：使学生理解数学建模的思想方法，掌握数学建模解决实际问题使学生理解数学建模的思想方法，掌握数学建模解决实际问题 的基本过程，培养数学建模创新实践的综合能力。的基本过程，培养数学建模创新实践的综合能力。 课程内容：课程内容：数学建模概述、初等模型、微分方程模型、概率与随机模型、数学建模概述、初等模型、微分方程模型、概率与随机模型、 数学规划模型、统计分析模型，共六部分内容，分数学规划模型、统计分析模型，共六部分内容，分1515讲完成。讲完成。 引言引言 数学建模数学建模 课程教材课程教材 第第1 1章章 数学建模概述数学建模概述 第第2 2章章 初等模型初等模型 第第3 3章章 微分方程模型微分方程模型 第第4 4章章 概率与随机模型概率与随机模型 第第5 5章章 数学规划模型数学规划模型 第第6 6章章 统计分析模型统计分析模型 数学建模数学建模 课程内容课程内容 哈尔滨理工大学哈尔滨理工大学 应用数学系应用数学系 第第1 1章章 数学建模概述数学建模概述 主讲人：陈东彦主讲人：陈东彦 教授教授 dychen_2004 数学建模数学建模 数学模型与数学建模数学模型与数学建模1 数学建模示例数学建模示例2 主要内容主要内容 第第1 1讲讲 数学模型与数学建模数学模型与数学建模 数学建模示例数学建模示例 （1 1）商人安全过河）商人安全过河 （2 2）交通路口黄灯设置）交通路口黄灯设置 数学建模数学建模 数学建模数学建模 数学作为一门自然科学学科为我们所熟悉，从初等数学到高等 数学，再到现代数学的许多分支，如应用数学、计算数学、统 计数学等，数学是抽象的、严谨的，也是应用广泛的。 数学除了与传统的物理学、天文学、力学等密不可分之外，还 应用到在工程技术、经济、管理、信息乃至社会等诸多领域。 凡是需要量化分析的领域都会涉及到数学。数学的作用主要在 于针对实际研究对象的数学描述、相关计算和理论分析，并利 用计算及分析结果为实际问题提供有效的解决方案。 数学已由一门自然科学发展成为一门数学技术，并不断地产生 着新的分支，如生物数学、经济数学、金融数学等。 数学模型与数学建模数学模型与数学建模 数学建模数学建模 一、数学模型一、数学模型 数学模型数学模型就是用来表示实际问题中现实对象间的 数量关系的模型，是对实际问题的一种近似刻画。 牛顿第牛顿第 二定律二定律 f=ma 万有引万有引 力定律力定律 单摆周单摆周 期函数期函数 /=Tl g ， 2 r Mm kf= 数学建模数学建模 一、数学模型一、数学模型 最优库最优库 存函数存函数 淋雨总淋雨总 量模型量模型 价格需价格需 求理论求理论 产量成产量成 本函数本函数 道格拉道格拉 斯生产斯生产 函数函数 b DaP = sin( cos) pwD Cdrh rv v =+ CaQb=+ 1 QAKL = 31 223 2cc Q c r cc = + 数学建模数学建模 数学模型的本质数学模型的本质 实际问题实际问题 的一种抽的一种抽 象模拟象模拟 用数学的语用数学的语 言，即数学言，即数学 符号和数学符号和数学 公式等对现公式等对现 实对象给予实对象给予 近似刻画近似刻画 使人们更使人们更 深刻地认深刻地认 识所研究识所研究 的现实对的现实对 象象 数学建模数学建模 数学模型的定义数学模型的定义 数学模型就是对于现实世界的一个特定对象，为了一 个特定的目的，根据其特有的内在规律，做出一些必 要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数 学结构。这个结构是由数字数字、字母字母或其它数学符号其它数学符号 组成的，描述现实对象数量规律的数学公式数学公式、图形图形或 算法算法。 数学建模数学建模 二、数学建模二、数学建模 在数学模型形成的过程中，需要针对研究对象，根据在数学模型形成的过程中，需要针对研究对象，根据 特定的目的及其特有的内在规律，对其进行适当的抽特定的目的及其特有的内在规律，对其进行适当的抽 象和简化，并运用适当的数学方法建立能够刻画现实象和简化，并运用适当的数学方法建立能够刻画现实 对象之间的数量关系的数学公式或图形或算法。对象之间的数量关系的数学公式或图形或算法。 数学建模数学建模就是建立数学模型并应用其解决实际问题的就是建立数学模型并应用其解决实际问题的 全过程。全过程。 实际问题的分析实际问题的分析 数学方法的选择数学方法的选择 数学模型的建立数学模型的建立 模型求解和计算模型求解和计算 模型结果的检验及应用模型结果的检验及应用 数学建模数学建模 数学建模的基本方法数学建模的基本方法 机理分析方法：根据对客观对象特性的认识，分析其因果关系， 通过推理分析找出反映客观对象内部机理的数量规律，如代数 方法、微分方法、优化方法等。 用机理分析方法建立的模型常常有明确的物理或现实意义，如 牛顿第二定律、万有引力定律、价格需求理论等。前面给大家 展示的模型基本都是利用机理分析方法得到的。 测试分析方法：将现实对象视为内部机理无法直接寻求的“黑 箱”系统，采用系统辨识的方法，即测量系统的输入输出，通 过对测量数据的分析和处理，按照一定的准则去找到与数据拟 合得最好的模型，如回归分析方法、方差分析方法等。 用测试分析方法得到的模型常常具有良好的统计意义，如直方 图模型以及依据直方图产生的模型。 数学建模数学建模 数学建模的基本方法数学建模的基本方法 机理分析与测试分析相结合的方法。利用机理分析确定模型的 类型和结构，再利用测试分析辨识模型中的参数。 如，用微分方法与回归分析方法相结合建立人口模型，用代数 方法与回归分析方法相结合建立价格需求函数模型等。 计算机模拟方法。利用计算机及相关软件，针对所研究的对象， 借助有关概念、变量、规则、逻辑关系和数学表达式等，对系 统进行一般描述，当给出系统参数、初始状态和环境条件等输 入数据后，该模型可在计算机上进行运算得出结果，并提供各 种直观形式的输出，还可根据对结果的分析改变有关参数或系 统模型的部分结构，重新进行运算。 计算机模拟方法在研究复杂系统方面具有较多优势，如进行随 机变量的模拟、随机数的产生、复杂系统模拟等。 数学建模数学建模 数学建模的一般步骤数学建模的一般步骤 了解问题的背景了解问题的背景, 明确建模的目的明确建模的目的, 收集建模收集建模 的信息的信息, 分析对象的主要特征。分析对象的主要特征。 抓住主要因素，做出合理的简化假设。假设抓住主要因素，做出合理的简化假设。假设 既要基本符合实际情况又要适当简化，以利既要基本符合实际情况又要适当简化，以利 用某种数学的方法给予描述。用某种数学的方法给予描述。 用数学的语言和符号描述出研究对象的内在用数学的语言和符号描述出研究对象的内在 规律，建立起包含常量、变量等的数学模型。规律，建立起包含常量、变量等的数学模型。 原则是要尽量用简单的数学工具。原则是要尽量用简单的数学工具。 问题分析问题分析 模型假设模型假设 模型建立模型建立 数学建模数学建模 数学建模的一般步骤数学建模的一般步骤 采用适当的求解方法对所建立的数学模型进 行求解，包括解析求解和数值求解。 对模型求解结果进行数学分析，如：结果的 误差分析、灵敏度分析、稳定性分析以及计 算方法（算法）的复杂度分析等 。 利用实际数据（或现象）检验模型是否与实 际相吻合。如果吻合较好，则模型及其结果 可用于实际问题；否则，需对模型进行修正。 模型求解模型求解 模型分析模型分析 模型检验模型检验 若模型经过检验已具有了合理性和实用性， 则可以应用其解决实际问题。 模型应用模型应用 数学建模数学建模 数学建模的三个阶段数学建模的三个阶段 线圈中的 感应电流 麦克斯韦 法拉第 方程 发电机 电动机 无线通讯 实际实际理论理论实际实际 数学建模数学建模 数学建模示例数学建模示例（1）商人安全过河）商人安全过河 问题问题( (智力游戏智力游戏) ) 3名商人名商人 3名随从名随从 随从们密约随从们密约, , 在河的任一岸在河的任一岸, , 一旦随从的人数比商人多，一旦随从的人数比商人多， 就杀人越货。就杀人越货。但是乘船渡河但是乘船渡河 的方案由商人决定。的方案由商人决定。 商人们怎样才能安全过河商人们怎样才能安全过河? 问题分析问题分析多步决策过程多步决策过程 决策决策 每一步每一步( (此岸到彼岸或彼岸到此岸此岸到彼岸或彼岸到此岸) )船上的人员船上的人员 要求要求 在商人安全的前提下在商人安全的前提下( (两岸的随从数都不比商人多两岸的随从数都不比商人多),), 经有限步使全体人员过河。经有限步使全体人员过河。 河河 小船小船(至多至多2人人) 数学建模数学建模 模型建立及求解模型建立及求解 yk第第k次渡河前此岸的随从数次渡河前此岸的随从数 xk, yk=0,1,2,3; k=1,2, sk=(xk , yk)过程的状态，过程的状态，S 允许状态集合允许状态集合 S=(x, y)| x=0, y=0,1,2,3; x=3, y=0,1,2,3; x=y=1,2 uk第第k次渡船上的商人数次渡船上的商人数 vk第第k次渡船上的随从数次渡船上的随从数 dk=(uk , vk)决策决策D=(u, v)| u+v=1, 2 允许允许决策决策集合集合 uk, vk=0,1,2; k=1,2, sk+1=skdk 状态转移方程状态转移方程 +(-1)k 求求dk D (k=1,2, , n), 使使sk S, 并并按状按状 态态转方程，转方程，由由 s1=(3,3)到达到达 sn+1=(0,0)。 多步决策问题多步决策问题 xk第第k次渡河前此岸的商人数次渡河前此岸的商人数 设设 数学建模数学建模 模型求解模型求解 x y 3 32 2 1 1 0 穷举法穷举法 编程上机编程上机 图解法图解法 状态状态s=(x,y) 16个格点个格点 10个个点点 允许决策允许决策 移动移动1或或2格格; k奇奇,左下移左下移; k偶偶,右上移。右上移。 s1 sn+1 d1, d2,d11给出安全渡河方案给出安全渡河方案 规格化方法规格化方法, ,易于推广易于推广 考虑考虑4 4名商人各带一名随从的情况名商人各带一名随从的情况 d1 d11 允许状态允许状态 S=(x, y)| x=0, y=0,1,2,3; x=3, y=0,1,2,3; x=y=1,2 评注和评注和 思考思考: : 数学建模示例数学建模示例（2）交通路口黄灯设置）交通路口黄灯设置 在设有交通信号灯的十字路口，绿灯和红灯转换之在设有交通信号灯的十字路口，绿灯和红灯转换之 间要亮起一段时间黄灯，以使那些正驶在交叉路口间要亮起一段时间黄灯，以使那些正驶在交叉路口 或因离交叉路口太近而无法停下的车辆有足够的时或因离交叉路口太近而无法停下的车辆有足够的时 间驶过路口。那么黄灯究竟应该持续多长时间才合间驶过路口。那么黄灯究竟应该持续多长时间才合 理呢？理呢？ 数学建模数学建模 问题分析问题分析 黄灯设置的主要目的是让已行驶在交叉路口或离交叉黄灯设置的主要目的是让已行驶在交叉路口或离交叉 路口太近的车辆驶过交叉路口。路口太近的车辆驶过交叉路口。 黄灯需持续的时间应包括：黄灯需持续的时间应包括： 驾驶员做出决定的时间（即反应时间）驾驶员做出决定的时间（即反应时间） 驶过停车所需最短距离的驾驶时间驶过停车所需最短距离的驾驶时间 通过路口所需的驾驶时间通过路口所需的驾驶时间 数学建模数学建模 模型假设模型假设 1）驶过路口的驾驶员技术熟练，以法定速度行驶，）驶过路口的驾驶员技术熟练，以法定速度行驶， 路口的交通状况良好，不影响驾驶员停车或通过；路口的交通状况良好，不影响驾驶员停车或通过； 2）车辆到达路口指车头达到路口，而车辆通过路口）车辆到达路口指车头达到路口，而车辆通过路口 指车尾已通过路口；指车尾已通过路口； 3）路口长度为）路口长度为D，车辆长度为，车辆长度为L，车辆速度为，车辆速度为v； 4）驾驶员看到黄灯后的反应时间为常值）驾驶员看到黄灯后的反应时间为常值 T0； 5）车辆的停车过程是通过驾驶员踩动刹车踏板产生）车辆的停车过程是通过驾驶员踩动刹车踏板产生 摩擦力使汽车匀减速行驶直到停止的过程；摩擦力使汽车匀减速行驶直到停止的过程； 6）车辆质量为）车辆质量为 m，路面摩擦系数为，路面摩擦系数为。 数学建模数学建模 模型建立与求解模型建立与求解 驾驶员在驶向路口时看到黄灯刚好亮起，会立即决定驾驶员在驶向路口时看到黄灯刚好亮起，会立即决定 通过路口或停车，决定时间为通过路口或停车，决定时间为T0 如果通过路口，则车辆至少要驶过车辆距路口的距离如果通过路口，则车辆至少要驶过车辆距路口的距离 S及及路口与车辆长度之和（路口与车辆长度之和（D+L）。 ）。 安全驶过长度安全驶过长度D+L所需所需时间时间T1 如果停车，则需要足够的停车距离保证在黄灯变为红如果停车，则需要足够的停车距离保证在黄灯变为红 灯时车辆恰好停止在路口前，而这个距离最短应不小灯时车辆恰好停止在路口前，而这个距离最短应不小 于驾驶员刹车距离。于驾驶员刹车距离。 数学建模数学建模 1 DL T v + = 刹车距离及刹车时间刹车距离及刹车时间 设刹车过程中车辆行驶距离为设刹车过程中车辆行驶距离为x( (t) )，由，由牛顿第二定律牛顿第二定律 F=ma，刹车过程满足运动方程：，刹车过程满足运动方程： 刹车时间刹车时间，刹车距离，刹车距离 数学建模数学建模 2 2 0 d d d (0)0, d t x mmg t x xv t = = = 积分求解得积分求解得 2 d , d 1 ( ) 2 x gtv t x tgtvt = + = + ， 1 v t g = 2 1 ( ) 2 v x t g = d =0 d x gtv t = +令 模型建立与求解模型建立与求解 模型建立与求解模型建立与求解 车辆以速度车辆以速度v驶过刹车距离时间驶过刹车距离时间 因此，黄灯最短持续时间因此，黄灯最短持续时间 数学建模数学建模 1 2 ( ) 2 x tv T vg = , 2 max 00 g v T g v v LD TT + + += 否则否则 停车停车 距路口距离小于刹距路口距离小于刹 车距离则通过路口车距离则通过路口 模型建立与求解模型建立与求解 如果