大学电磁场课后答案第三章.pdf

1 习题三习题三 3- 1 一个半径为a 的球内均匀分布着总量为 q 的电荷， 若其以角速度 绕一直径匀速旋转， 如图所示。试求球体内的电流密度并计算分布电流的总和。 解：设球内任一点到球心的距离为r，转轴与矢径夹角为，则该点的线速度 sinvr= 球内的电荷体密度 3 (4/3) Q a = 该点的电流密度 3 3sin 4 Q r Jv a = 球内电流为 2 2 3 00 3 3 0 3sin 2 4 3 2 ( cos ) 432 a S Q r IJ dSrdrd a QaQ a = = u vu v 题 3- 1 图 3- 2 已知电流密度矢量 2222 A/m2210 zyx zxyxzyeeeJ+=，试求：1) 穿过面积3=x， 32 y，2 . 58 . 3 z，沿 x e 方向的总电流；2) 在上述面积中心处电流密度的大小； 3) 在上述面积上电流密度 x方向的分量 x J 的平均值。 解：(1)因为 x dSdydze= uu v ，则 22 (102 xy J dSy zex ye= u vuu vuu v 22 2)10 zx x zedydzey zdydz+= uvuu v ，则所求总电流为 35.23 2222 23.82 105(5.23.8 )399(A) z S IJ dSy dyzdzydy= u vu v (2)容易得到该面积中心点的坐标为：3x =，2.5y =，4.5z =，代入J u v 的表达式后可 得到该点的电流密度矢量为 2 281.254581 (A/m ) xyz Jeee=+ u vuu vuu vuv 其大小为 2222 (281.5)( 45)(81)296.121 A/m )J =+ + u v （。 (3) x J的平均值 x J为 2 399 285(A/m ) 1 1.4 x x I J S = 图 32 3 3 2 3.8 5.2 x y z r O Q a PDF 文件使用 “pdfFactory Pro“ 试用版本创建 2 由于J u v 的分布是非均匀的， 所以穿过该面积沿x方向的电流密度平均值和面积的中心点 处电流密度大小不相等。 3- 3 铁制水管内、外直径分别为 2.0 cm和 2.5 cm，常用水管来使电器设备接地。如果从电 器设备流入到水管中的电流是 20A，那么电流在管壁和水中各占多少？假设电阻率是 0.01m。 解：单位长度的铁管电阻为 )02 . 0 025 . 0 ( 107 . 8 22 8 铁 铁 铁 S R 单位长度的水柱电阻为 2 02 . 0 01 . 0 水 水 水 S R 当水管中的电流为 20A 时，水柱和铁管中的电流之比为 5 105 . 1 水 铁 铁 水 R R I I (1) 又根据题意 AII20 铁水 (2) 所以将(1)、(2)联立求解，可得管壁和水中的电流强度 0 水 I，AI20 铁 3- 4 流过细导线的电流I沿z轴向下流到中心在0z =与z轴垂直的导体薄片上。求薄片 上的电流密度矢量 S J ，并求在平面的 600扇形区域内的电流。 题 3- 4 图 解：由前面的分析可知，0z =时，电流密度矢量为 2 sr I Je r = uu vuv 那么，在60o扇形区域内的电流为 60 0 26 s II IJ dld r = o 需要注意的是，这里的电流密度只存在于导体薄层上，为面电流密度 s J A/m，因此在求 60o r z PDF 文件使用 “pdfFactory Pro“ 试用版本创建 3 电流的时候，用的是公式 s IJ dl=，而不是IJdS=，但两者本质是相同的。 3- 5 在无界非均匀导电媒质(电导率和介电常数均是坐标的函数)中，若有恒定电流存在， 证明媒质中的自由电荷密度为)( = E 证明：由方程0=J得 0)(=+=EEEJ 即 EE = 故有 EEED+=)( )( = =EEE 3- 6 同轴电缆的内外导体之间有两层同轴的有损耗介质，其介电常数分别为 1和 2，电导 率分别为 1和 2，如图所示。设内外导体的电压为 U0。求：(1)两种介质中的J 和 E ； (2)分界面上的自由电荷面密度。 解： （1）由 Jr=1E1r（a，锥顶与地距离为 00 ()r r 很小，如题 图所示。求该圆锥与地之间的电位，电场E。 解： 圆锥电压为 0 U，锥的轴线与地面垂直，依据此边界形状，选用球坐标求解为宜。 由于 0 ,ha ar，则可近似视电位不随, r 变化，电位仅为坐标的函数，即 电位为一维场，( )F=。 (1)求电位。 2 2 1 (sin) sin dd rdd = 所以 (sin)0 dd dd = 故 1 sin d C d = 因此 12 ln(tan) 2 CC =+ PDF 文件使用 “pdfFactory Pro“ 试用版本创建 7 利用两个边界条件确定常数 1 C， 2 C。 由 0 =， 0 U =， 0 10 ln(tan) 2 CU =得。 由90 =，0 =得 2 0C =，故 0 0 ln(tan) 2 ln(tan) 2 U (1)求电场强度E uv 。 因为E= uv ，所以 0 2 1 ln(tan) 2 ln(tan) 2 U Eee r r = = uvuu vuu v 0 0 ln(tan) sin 2 U e r = uu v 即 0 0 ln(tan) sin 2 U E r = 3- 12 如题图所示的一对无限大接地平行导体板， 板间有一与z轴平行的线电荷 l ， 其位置 为(0,d)。求板间电位函数。 解： 设其解为 1 1 sin n z a n n n Aye a = = (0)x 2 1 0 1 sin()sin() n x l a n nn dy e nnaa = = (0)x R1, dR2)，试求两导体球面间的电阻。 解 ： 此题 可 采用 静电 比 拟的 方法 求 解。 设两小 球 的电 荷 为q 和q ， 由于 12 ,dR dR 可以近似认为小球上的电荷均匀分布在球面上，则得到两小球表面的电 位为 1 12 11 4 q RdR = PDF 文件使用 “pdfFactory Pro“ 试用版本创建 11 2 21 11 4 q RdR = 所以两小导体球面间的电容为 12 2112 4 1111 q C RRdRdR = + 由静电比拟，得到球面间的电导为 12 2112 4 1111 I G RRdRdR = + 故两两小导体球面间的电阻为 2112 11111 4 I R GrRRdRdR =+ 3- 19 地球及其大气层可看作一泄露球形电容器。晴朗天气，地球表面有稳恒电场 E( 0 r),其 值约为 100V/m，并指向地球中心。大气层的电导率 2 00 )rr()r(+=S/m，已测 出 14 0 103 =S/m， 20 1050 = .S/m3，地球半径 6 0 106=rm。试计算： (1) 流向地球的总电流I； (2) 大气层中的电荷体密度和地球表面的电荷面密度 ； (3) 地球表面的电位 0 ( )r。 解： （1）地球表面处的电流密度为 122 00 ( ) ( )3 10/ r Jr E raA m = u ruruu r 所以流向地球的总电流为 2 0 4 s IJ dsr J= u r 6212 4 (6 10 )3 101357.2A = = （2）大气层中的电流密度为 2 000 0 22 ( ) ( ) ( )() 4 rr rr E rI J raarr rr = = u ruu ruu r 于是得到大气层中的电荷体密度为 2 000 2 ( )1( ) ( )( ) J rJ r Er rrrr = u r ur 2 0 000 2 22 0 0000 22 1 ( ) ( ) () 2( )/ ( ) r E r rrr rr r E rC m rr = = 把地球表面看作理想导体表面，则 PDF 文件使用 “pdfFactory Pro“ 试用版本创建 12 0000 ( )( ) sr a E rE r= uu r ur 102 8.85 10/C m = （1） 地球表面的电位 0 0 ( )( ) r rE r dr = urr 0 2 000 22 00 2 0 2 0 20 0 0000 0 22 00 20 0 0 0000 2 00 0 ( ) () ( )2 ln ( ) 1 ln 2 384000 r rE r dr rrr r r E r r r rr r E rr rr V = + + = + + + 3- 20 设有同心球电容器，内球半径为a，外球内半径为c ，中间充有两层介质，其界面为 br =。内、外层介质的介电常数及电导率分别为 1 ， 1 ； 2 ， 2 ；(1) 若在内、外 球间加电压 0 U，求两层介质中的电场和电流分布J 及ra=，b，c处的自由电荷密 度。(2) 求此电容器的漏电阻。(3)求电容器的损耗功率。 解 ： （ 1 ） 设 由 内 导 体 流 向 外 导 体 的 径 向 电 流 为 I ， 则 由 s JdSI= 可 得 22 12 22JrJrI+= 在 两种介质 的分界 面上，电 场与分 界面平 行。 根据边界 条件 12tt EE= 可 知 12 EEE= 。由于 111 JE= ， 222 JE= ， 所以 2 12 2()rEI+= 2 12 2 () I E r = + ()arb () () () 0 2 1212 1 22 bb aa ba II UEdrdr rab = + 所以 () 120 2abU I ba + = PDF 文件使用 “pdfFactory Pro“ 试用版本创建 13 故 () 0 2 abU E ba r = ()arb () 10 11 2 ab U JE ba r = ()arb () 20 22 2 ab U JE ba r = ()arb （2）电阻器的漏电阻为 0 12 2 () Uba R Iab = + （3）电容的损耗功率为 2 120 0 2 ()abU PIU ba + = 3- 21 一铜棒的横截面积为 2 mm8020，长为 m2，两端的电位差为 0mV5。已知铜的电导 率为S/m105.7 7 =，铜棒内自由电子的电荷密度为 310C/m 10.361。求：(1) 铜棒 的电阻；(2) 铜棒中的电流和电流密度；(4) 铜棒内的电场强度；(5) 铜棒所消耗的功 率。 解：(1) 铜棒电阻 5 7 12 2.19 10 0.02 0.08 5.7 10 l R S = (2) 铜棒内电流 3 3 5 50 10 2.28 10 2.19 10 U IA R = (3) 铜棒内电流密度 3 62 2.28 10 1.43 10/ 0.02 0.08 I JA m S = (4) 棒内的电场强度 3 2 50 10 2.50 10/ 2 U EV m I = (5) 消耗的功率 23 252 (2.28 10 )2.19 101.14 10PI RW = 3- 22 一个半径为a的半球形接地导体埋于电导率为 的土壤中，如图所示。(1)请导出计算 接地电阻的公式。(2)若 a=0.2m，OA=5.2m，该地段的大地电导率为 10- 4S/m，行人前 落脚点在 A，后落脚点在 B 点，跨距为 0.8m，请计算跨步电压。 解： （1）采用镜像法，作球的镜像，如图虚线所示。 设流入球的电流为I ，导体球的电流分布为 22 2 42 rr II Jee rr = u vuvuv 电场强度为 PDF 文件使用 “pdfFactory Pro“ 试用版本创建 14 2 2 r JI Ee r = u v uvuv 以无穷远处为零点电位，则导体球的电压为 2 00 22 II VEdrdr ra = 接地电阻为 2 VI R Ia = （2）如图，据题意知，5.20.86( )lm=+=，0.8bm=。 跨步电压为 6 2 5.2 4 11 225.26 11 42 ( ) 2105.26 l AB l b II VEdrdr r I I V = = 3- 23 半径分别为 1 r， 2 r，厚度为h，张角为 0 的扇形电阻片(其电导率为)，如图所示。 试求两种不同的极板(金属极板，不计算其电阻)放置方法，该扇形片的电阻R。(1)两 极板分别置于 A、B 面(平面)上。(2)两极板分别置于 C、D 面(圆弧面)上。 题 3- 22 图 题 3- 23 图 解： （1）求导体区的电位，此为二维问题，可利用圆柱坐标系中的分离变量法求解。 导体中的电位应满足如下条件： 0 =， 12 0 ()rr= 0 =， 012 ()Vrr= 12 rr=及处， 0 0 (0) = 为满足上述条件，应取 AB=+ a O b l A B z 0 h 1 r 2 r A C D PDF 文件使用 “pdfFactory Pro“ 试用版本创建 15 由条件得，0A =。 由条件得， 0 0 V B =，即 0 0 V = 0 0 V E