统计学第九章相关与回归.ppt

第一节 相关分析概述,第二节 简单线性回归模型,第九章 相关与回归,联系与相互影响是普遍的现象,事物相互间关系的质的解释：自然的、社会的、经济的、心理的,事物相互间关系的量的分析：两变量或多变量间的数量关系。在可以解释的质的关系基础上进行相关分析和回归分析,统计学第九章 相关与回归,第九章 相关与回归,相关分析的意义,第一节 相关分析概述,社会经济现象中，一些现象与另一些现象之间往往存在着依存关系，当我们用变量来反映这些现象的的特征时，便表现为变量之间的依存关系。,在分析变量的依存关系时，我们把变量分为两种：,自变量,因变量,引起其他变量发生变化的量。,受自变量的影响发生对应变化的量,现象之间的相互关系，可以概括为两种不同的类型：,（一）函数关系 （二）相关关系,例如：家庭收入决定消费支出，收入的变化必然引起消费支出的变化，这两个变量中收入是自变量，而消费支出则是因变量。,相关分析的意义,函数关系可以用一个确定的公式，即函数式,来表示。,或：Y=F（X）,例2、根据消费理论，商品需求量Q与商品价格P、居民收入I之间具有相关关系：,相关关系可用统计模型：,或：Y=F（X）+,式中，为影响Y的除X外的其他随机因素。,相关关系的种类：,1、按相关关系涉及的影响变量多少可分为：,相关关系的种类：,2、按相关关系的表现形式可分为：,相关关系的种类：,3、按线形相关的变动方向可分为：,线性正相关,统计学第九章 相关与回归,线性负相关,非线性相关,时间,无（不）相关,相关关系的种类：,4、按相关关系的密切程度分为：,完全相关,因变量完全随自变量变动而变动，存在着严格的依存关系。即变量间的关系为函数关系。,不完全相关,变量之间存在着不严格的依存关系，即因变量的变动除了受自变量变动的影响外，还受其他因素的影响。它是相关关系的主要表现形式。,完全不相关,自变量与因变量彼此独立，互不影响，其数量变化毫无联系。,（1）确定现象之间有无相关关系，以及相关关系的表现形态。 （2）确定相关关系的密切程度。 （3）确定相关关系的数字模型，并进行参数估计和拟合优度检验。 （4）回归预测，并分析估计标准误差。,相关分析的主要内容包括：,相关关系的测定,定性分析,是依据研究者的理论知识和实践经验，对客观现象之间是否存在相关关系，以及何种关系作出判断,定量分析,在定性分析的基础上，通过编制相关表、绘制相关图、计算相关系数与判定系数等方法，来判断现象之间相关的方向、形态及密切程度,在直线相关的条件下，用以反映两变量间线性相关密切程度的统计指标，用r表示,相关系数,其基本算法是英国统计学家皮尔逊所创的乘积动差法，简称积差法。,相关关系的定量测定,相关系数r的取值范围：-1r1,0|r|1表示存在不同程度线性相关： |r| 0.3为弱相关； 0.3 |r| 0.5为低度线性相关； 0.5 |r| 0.8为显著线性相关； 0.8|r| 1.0为高度线性相关。,r0 为正相关，r 0 为负相关； |r|=0 表示不存在线性关系； |r|1 表示完全线性相关；,【例】计算工业总产值与能源消耗量之间的相关系数 资料,结论：工业总产值与能源消耗量之间存在高度的正相关关系，能源消耗量x的变化能够解释工业总产值y变化的95.2。,相关系数的计算,相关关系不等于因果关系； 相关系数只度量变量间的线性关系，因此，弱相关不一定表明变量间没有关系； 极端值可能影响相关系数。 注意相关关系成立的数据范围。 警惕虚假相关,使用相关系数时应注意的问题：,统计学第九章 相关与回归,回归：退回regression,1877年 弗朗西斯高尔顿爵士 遗传学研究 回归线,统计学第九章 相关与回归,第二节 简单线性回归模型,回归分析法产生的历史,回归分析法。由著名的英国生物学家、统计学家高尔顿（F.Gallton）达尔文的表弟所创。 早年，高尔顿致力于化学和遗传学领域的研究。 他研究父亲们的身高与儿子们的身高之间的关系时，建立了回归分析法。,父亲们的身高与儿子们的身高之间 关系的研究,1889年F.Gallton和他的朋友K.Pearson收集了上千个家庭的身高、臂长和腿长的记录 企图寻找出儿子们身高与父亲们身高之间关系的具体表现形式 下图是根据1078个家庭的调查所作的散点图（略图）,回归分析法产生的历史,回归分析法产生的历史,从图上虽可看出，个子高的父亲确有生出个子高的儿子的倾向，同样地，个子低的父亲确有生出个子低的儿子的倾向。得到的具体规律如下： 如此以来，高的伸进了天，低的缩入了地。他百思不得其解，同时又发现某人种的平均身高是相当稳定的。最后得到结论：儿子们的身高回复于全体男子的平均身高，即“回归”见1889年F.Gallton的论文普用回归定律。 后人将此种方法普遍用于寻找变量之间的规律,回归分析法产生的历史,第二节 简单线性回归模型,回归分析,通过一个变量x或一些变量(x1,x2,x3)的变化解释另一变量y的变化.即根据相关关系的数量表达式（回归方程式）与给定的自变量x，揭示因变量y在数量上的平均变化和求得因变量的预测值的统计分析方法,回归：退回regression,回归方程,回归模型,反映自变量和因变量之间数学联系的表达式。,某一类回归方程的总称。,自变量(independent variable):解释变量，给定的或可以控制的、用来解释、预测应变量的变量。 因变量(dependent variable):响应变量，由自变量来解释其变化的变量。,X,Y,统计学第九章 相关与回归,回归分析的内容和步骤,1、根据理论和对问题的分析判断， 区分自变量和因变量；,2、设法找出适合的数学方程式(即 回归模型)描述变量间的关系,3、对回归模型进行统计检验；,4、统计检验通过后，利用回归模型，根据解释变量去估计，预测 因变量。,回归分析的分类,根据变量的多少分为：,简单回归,多元回归,只有一个自变量和一个因变量的回归,自变量数目在两个或两个以上,根据建立的回归模型形式分为：,线性回归,非线性回归,从所拟合的回归模型来看，一变量表现为其它变量的线性组合。,从所拟合的回归模型来看，一变量表现为其它变量的非线性组合,回归分析与相关分析,理论和方法具有一致性； 无相关就无回归，相关程度越高，回归越好； 相关系数和回归系数方向一致，可以互相推算。,联系：,相关分析中x与y对等，回归分析中x与y要确定自变量和因变量； 相关分析中x、y均为随机变量，回归分析中只有y为随机变量； 相关分析测定相关程度和方向，回归分析用回归模型进行预测和控制。,回归分析与相关分析,区别：,总体一元线性回归模型：,误差项,假定： E()=0,总体一元线性回归方程：,统计学第九章 相关与回归,简单线性回归模型,指根据成对的两个变量的数值，配合直线方程式，根据自变量的变动，来推算因变量发展变动趋势的方法，其模型为：,其中：Yi表示因变量Y在总体中某一个具体的观察值；Xi表示在研究总体中自变量X的具体观察数值；A与B是参数，称为回归系数；i是一个随机变量，其平均数为0，方差为2.,总体回归模型,在实际应用中，我们对X和Y所代表的总体往往不可能全面的观察和了解，而只能从中抽取部分资料作为样本，并通过样本提供的信息来认识总体，找出总体回归模型的估计式，其估计式的方程式可写为:,简单线性回归模型,其中：a，b和ei分别为A、B及i的估计量。,由于抽样的随机性，使样本回归线不可能与总体回归完全重合，从而会出现样本回归函数高估或低估总体回归函数的情况，我们能做的就是设法使样本回归函数尽可能接近总体回归函数，也就是说要使回归方程参数的估计值a、b尽量接近总体真实参数A、B。,样本回归模型,一元线性回归方程的几何意义,回归直线的拟合,总体一元线性 回归方程:,样本一元线性回归方程：,以样本统计量估计总体参数,斜率（回归系数）,截距a 表示在没有自变量x的影响时，其它各种因素对因变量y的平均影响；回归系数b 表明自变量x每变动一个单位，因变量y平均变动b个单位。,一元线性回归方程 中参数a、b的确定：,最小平方法,整理得到由两个关于a、b的二元一次方程组成的方程组：,进一步整理，有：,【分析】因为工业总产值与能源消耗量之间存在高度正相关关系（ ），所以可以拟合工业总产值对能源消耗量的线性回归方程。,【例】建立工业总产值对能源消耗量的线性回归方程 资料,即线性回归方程为：,计算结果表明，在其他条件不变时，能源消耗量每增加一个单位（十万吨），工业总产值将增加0.7961个单位（亿元）。,回归方程的估计与预测,估计的前提：回归方程经过检验，证明 X 和 Y 的关系在统计上是显著相关的。,对于给定的 X 值，求出 Y 平均值的一个估计值或 Y 的一个个别值的预测值。,对于给定的 X 值，求出 Y 的平均值的置信区间或 Y 的一个个别值的预测区间。,点估计,区间估计,点估计,若 x = 80（十万吨），则：,估计的前提：回归方程经过检验，证明 X 和 Y 的关系在统计上是显著的。,回归分析的点估计：对于给定的 X 值，求出 Y 平均值的一个估计值或 Y 的一个个别值。,若 x = 169，则：,统计学第九章 相关与回归,利用点估计得到的Y平均值的点估计值和Y的一个个别值其结果是相同的。 点估计不能提供估计量的精确度。 在样本自变量取值范围之外进行预测要特别谨慎。,统计学第九章 相关与回归,使用点估计应注意的问题：,课后练习：,1若按影响因素的多少划分，相关关系分为 相关和 相关。 2当变量x值增加，变量y 值也增加，这是 相关关系；当变量x值减少，变量y 值也减少，这是 相关关系。 3直观而形象地显示现象间的相关关系的方法有 和 。 4现象的单相关关系从形式看有 和 两种。 5. 相关系数是测定变量之间 和 的代表性指标。 6. 相关系数是在 相关条件下用来说明两个变量相关 的统计分析指标。 7. 完全相关的关系即 关系，其相关系数为 。 8.相关系数绝对值的大小反映相关的 ，相关系数的正负反映相关的 。 9. 计算相关系数的两个变量都是 变量，相关系数的取值范围是 。,10当变量x 值增加时，变量y 值随之下降，那么变量x 与变量y 之间存在着（ ） A.直线相关关系 B.正相关关系 C.负相关关系 D.曲线相关关系 11. 下列哪两个变量之间的相关程度最高（ ） A.商品销售额和商品销售量的相关系数是0.9 B.商品销售额与商业利润率的相关系数是0.84 C.平均流通费用率与商业利润率的相关系数是-0.94 D.商品销售价格与销售量的相关系数是-0.91 12. 在回归分析中,对于没有明显因果关系的两变量( ) A.可给定自变量数值估计因变量的可能值 B.可给定因变量值推出自变量值 C可以都是随机变量 D可以都是非随机变量 13. 配合回归直线方程对资料的要求是( ) A.因变量是给定的数值,自变量是随机的 B.自变量是给定的数值,因变量是随机的 C.自变量和因变量都是随机的 D.自变量和因变量都不是随机的,1. 单，复