16、17解析几何专题1：_圆锥曲线的定义、性质、方程(教师版)

第十六讲 圆锥曲线的定义、性质和方程(一)高考在考什么【考题回放】1已知AB为过抛物线y2=2px焦点F的弦, 则以AB为直径的圆与抛物线的准线(B)A相交 B相切 C相离 D与p的取值有关2（江苏理）在平面直角坐标系xOy中，双曲线中心在原点，焦点在y轴上，一条渐近线方程为x-2y=0，则它的离心率为 （ A ）A B C D3点P(a,b)是双曲线x2-y2=1右支上一点，且P到渐近线距离为，则a+b=(B )A、-B、C、-2D、2 4（湖南）设F1 、F2分别是椭圆（）的左、右焦点，若在其右准线上存在P使线段PF1的中垂线过点F2，则椭圆离心率的取值范围是（ D ）A B C D5（湖北理）双曲线的左准线为l，左焦点和右焦点分别为F1 、F2；抛物线C2的准线为l，焦点为F2；C1与C2的一个交点为M，则等于 （ A ）A BC D6（全国一）抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l，经过F且斜率为的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A，AKl，垂足为K，则AKF的面积是( C)A4 B C D87（福建理）以双曲线的右焦点为圆心，且与其渐近线相切的圆方程是 （ A ）Ax2+y2-10x+9=0Bx2+y2-10x+16=0 Cx2+y2+10x+16=0Dx2+y2+10x+9=08（辽宁）设椭圆上一点P到左准线的距离为10，F是该椭圆的左焦点，若点M满足，则2高考要考什么【热点透析】一、圆锥曲线的定义 1. 椭圆：到两个定点的距离之和等于定长（定长大于两个定点间的距离）的动点的轨迹叫做椭圆。即：P| |PF1|+|PF2|=2a, (2a|F1F2|)。 2. 双曲线：到两个定点的距离的差的绝对值为定值（定值小于两个定点的距离）的动点轨迹叫做双曲线。即P| |PF1|-|PF2|=2a, (2a|F1F2|)。 3. 圆锥曲线的统一定义：到定点的距离与到定直线的距离的比e是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线。当0e1时为双曲线。 二、圆锥曲线的方程。 1.椭圆：（ab0）或（ab0）（其中，a2=b2+c2） 2.双曲线：（a0, b0）或（a0, b0）（其中，c2=a2+b2）3.抛物线：y2=2px（p0），x2=2py（p0）三、圆锥曲线的性质 知识要点：1.椭圆：（ab0） （1）范围：|x|a，|y|b （2）顶点：(a,0)，(0,b) （3）焦点：(c,0) （4）离心率：e=(0,1) （5）准线：2.双曲线：（a0, b0） （1）范围：|x|a, yR （2）顶点：(a,0) （3）焦点：(c,0) （4）离心率：(1,+) （5）准线：（6）渐近线：3.抛物线：y2=2px(p0) （1）范围：x0, yR （2）顶点：（0,0） （3）焦点：（,0）（4）离心率：e=1 （5）准线：x=-主要题型：（1）定义及简单几何性质的灵活运用；（2）求曲线方程（含指定圆锥曲线方程及轨迹方程）。突破重难点【例1】若F1、F2为双曲线的左、右焦点，O为坐标原点，点P在双曲线的左支上，点M在双曲线的右准线上，且满足：，则该双曲线的离心率为（ ）ABCD3解：由知四边形F1OMP是平行四边形，又知OP平分F1OM，即F1OMP是菱形，设|OF1|=c，则|PF1|=c. 又|PF2|-|PF1|=2a， |PF2|=2a+c，由双曲线的第二定义知,且e1，e=2，故选C.【例2】学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验. 设计方案如图：航天器运行（按顺时针方向）的轨迹方程为，变轨（即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线）后返回的轨迹是以轴为对称轴、 为顶点的抛物线的实线部分，降落点为. 观测点同时跟踪航天器.（1）求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程；（2）试问：当航天器在轴上方时，观测点测得离航天器的距离分别为多少时，应向航天器发出变轨指令？解：（1）设曲线方程为， 由题意可知，. . 曲线方程为. （2）设变轨点为，根据题意可知得 ，或（不合题意，舍去）. . 得 或（不合题意，舍去）. 点的坐标为，.答：当观测点测得距离分别为时，应向航天器发出指令. 图1【例3】如图1，已知A、B、C是长轴为4的椭圆上三点，点A是长轴的一个顶点，BC过椭圆中心O，且，。（1）建立适当的坐标系，求椭圆方程；（2）如果椭圆上两点P、Q使直线CP、CQ与x轴围成底边在x轴上的等腰三角形，是否总存在实数l使？请给出证明。解：（1）以O为原点，OA所在的直线为x轴建立如图直角坐标系，则A（2，0），椭圆方程可设为。而O为椭圆中心，由对称性知|OC|=|OB|又，所以ACBC又，所以|OC|AC|，所以AOC为等腰直角三角形，所以点C坐标为（1，1）。将（1，1）代入椭圆方程得，则椭圆方程为。（2）由直线CP、CQ与x轴围成底边在x轴上的等腰三角形，设直线CP的斜率为k，则直线CQ的斜率为k，直线CP的方程为y-1=k(x-1)，直线CQ的方程为y-1=-k(x-1)。由椭圆方程与直线CP的方程联立，消去y得 (1+3k2)x2-6k(k-1)x+3k2-6k-1=0因为C（1，1）在椭圆上，所以x1是方程的一个根，于是 同理这样， 又B（1，1），所以，即kAB=kPQ。所以PQAB，存在实数l使。【例4】如图，直线l1和l2相交于点M，l1 l2，点Nl1以A、B为端点的曲线段C上的任一点到l2的距离与到点N的距离相等若AMN为锐角三角形，|AM|=，|AN|=3，且|BN|=6建立适当的坐标系，求曲线C的方程解法一：如图建立坐标系，以l1为x轴，MN的垂直平分线为y轴，点O为坐标原点依题意知：曲线段C是以点N为焦点，以l2为准线的抛线段的一段，其中A、B分别为C的端点设曲线段C的方程为y2=2px (p0)，(xAxxB，y0)，其中xA，xB分别为A，B的横坐标，P=|MN|所以 M (，0)，N (，0) 由 |AM|=，|AN|=3得(xA)22PxA=17， (xA)22PxA=9 由、两式联立解得xA=，再将其代入式并由p0解得或因为AMN是锐角三角形，所以xA，故舍去 P=4，xA=1由点B在曲线段C上，得xB=|BN|=4综上得曲线段C的方程为y2=8x (1x4，y0)解法二：如图建立坐标系，分别以l1、l2为x、y轴，M为坐标原点作AEl1，ADl2，BFl2，垂足分别为E、D、F设 A (xA，yA)、B (xB，yB)、N (xN，0)依题意有xA=|ME|=|DA|=|AN|=3，yA=|DM|=2，由于AMN为锐角三角形，故有xN=|AE|+|EN|=4=|ME|+=4XB=|BF|=|BN|=6 设点P (x，y)是曲线段C上任一点，则由题意知P属于集合(x，y)|(xxN)2+y2=x2，xAxxB，y0 故曲线段C的方程y2=8(x2)(3x6，y0) 第十七讲 圆锥曲线的定义、性质和方程(二)【例5】已知椭圆的长、短轴端点分别为A、B，从此椭圆上一点M向x轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点F1，向量与是共线向量。（1）求椭圆的离心率e；（2）设Q是椭圆上任意一点， F1、F2分别是左、右焦点，求F1QF2的取值范围；解：（1），。是共线向量，b=c,故。（2）设当且仅当时，cos=0，。【例6】设P是双曲线右支上任一点. （1）过点P分别作两渐近线的垂线，垂足分别为E，F，求的值； （2）过点P的直线与两渐近线分别交于A、B两点，且的面积.解：（I）设两渐近线方程为由点到直线的距离公式得 （II）设两渐近线的夹角为，【例7】如图，已知梯形ABCD中|AB|=2|CD|，点E分有向线段所成的比为，双曲线过C、D、E三点，且以A、B为焦点求双曲线的离心率解：如图，以AB的垂直平分线为y轴，直线AB为x轴，建立直角坐标系xOy，则CDy轴因为双曲线经过点C、D，且以A、B为焦点，由双曲线的对称性知C、D关于y轴对称 依题意，记A(c，0)，C(，h)，B(c，0)，其中c为双曲线的半焦距，c=|AB|，h是梯形的高由定比分点坐标公式，得点E的坐标为， 设双曲线的方程为，则离心率由点C、E在双曲线上，得 由式得代入式得所以，离心率 【例8】已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1（1）求椭圆C的标准方程；（2）若直线l：y=kx+m与椭圆C相交于A,B两点（A,B不是左右顶点），且以AB为直径的图过椭圆C的右顶点求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标解：（I）由题意设椭圆的标准方程为，由已知得：，椭圆的标准方程为（）设，联立 得，又，因为以为直径的圆过椭圆的右顶点，即， ，解得：，且均满足，当时，的方程为，直线过定点，与已知矛盾；当时，的方程为，直线过定点所以，直线过定点，定点坐标为自我提升1.已知ABC的顶点B、C在椭圆y21上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则ABC的周长是(C )（A）2 （B）6 （C）4 （D）122如果双曲线的两个焦点分别为、，一条渐近线方程为，那么它的两条准线间的距离是（ C ）A B C D 3抛物线y=4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是( B) ( A ) ( B ) ( C ) ( D ) 04双曲线的虚轴长为4，离心率，F1、F2分别是它的左，右焦点，若过F1的直线与双曲线的左支交于A、B两点，且|AB|是|AF2|与|BF2|的等差中项，则|AB|为（A）.A、 B、 C、 D、85已知椭圆中心在原点，一个焦点为F（2，0），且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是 6过椭圆左焦点F，倾斜角为60的直线交椭圆于A、B两点，若|FA|=2|FB|，则椭圆的离心率为( B )(A) (B) (C) (D)7椭圆+=1的离心率e=，则m=_m=8或2。8 F1、F2是椭圆（ab0）的两焦点，过F1的弦AB与F2组成等腰直角三角形ABF2，其中BAF2=900，则椭圆的离心率是_9已知椭圆E的离心率为e，左、右焦点为F1、F2，抛物线C以F2为焦点，F1为其顶点，若P为两曲线的公共点，且e|PF2|=|PF1|，则e_。10如图，已知三点A(7, 0)，B(7,0)，C(2,12). 若椭圆过A、B两点，且C为其一焦点，求另一焦点P的轨迹方程； 若双曲线的两支分别过A、B两点，且C为其一焦点，求另一焦点Q的轨迹方程。解析：由椭圆定义知，|AP|AC|BP|BC|，即故P的轨迹为A（7，0）、B（7，0）为焦点实轴长为2的双曲线的一支，其方程为； 经讨论知，无论A在双曲线的哪一支上, 总有|QA|QB|AC|BC|28|AB|14故点Q的轨迹为以A（7，0）、B（7，0）为焦点长轴长为28的椭圆，其方程为。11如图，A为椭圆上的一个动点，弦AB、AC分别过焦点F1、F2当AC垂直于x轴 时，恰好|AF1|:|AF2=3:1（I）求该椭圆的离心率；xyABCOF1F2（II）设，试判断l1+l2是否为定值？若是，则求出该定值；若不是，请说明理由解：（I）当C垂直于x轴时，由，得，在Rt中，解得 =（II）由=，则，焦点坐标为，则椭圆方程为，化简有设，若直线AC的斜率存在，则直线AC方程为代入椭圆方程有由韦达定理得：， 所以，同理可得故l1+l2= 若直线轴， l1+l26 综上所述：l1+l2是定值612已知椭圆（ab0）上两点A、B，直线上有两点C、D，且ABCD是正方形。此正方形外接圆为x2+y2-2y-8=0，求椭圆方程和直线的方程。解：圆方程x2+y2-2y-8=0即x2+(y-1)2=9的圆心O