高中数学第二章平面向量数量积的坐标表示模夹角学案无答案新人教A版.docx

24.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角学习目标1.理解两个向量数量积坐标表示的推导过程，能运用数量积的坐标表示进行向量数量积的运算.2.能根据向量的坐标计算向量的模，并推导平面内两点间的距离公式.3.能根据向量的坐标求向量的夹角及判定两个向量垂直知识点一平面向量数量积的坐标表示设i，j是两个互相垂直且分别与x轴、y轴的正半轴同向的单位向量思考1ii，jj，ij分别是多少？答案ii11cos01，jj11cos01，ij0.思考2取i，j为坐标平面内的一组基底，设a(x1，y1)，b(x2，y2)，试将a，b用i，j表示，并计算ab.答案ax1iy1j，bx2iy2j，ab(x1iy1j)(x2iy2j)x1x2i2(x1y2x2y1)ijy1y2j2x1x2y1y2.思考3若ab，则a，b坐标间有何关系？答案abab0x1x2y1y20.梳理设向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，a与b的夹角为.数量积abx1x2y1y2向量垂直abx1x2y1y20知识点二平面向量模的坐标形式及两点间的距离公式思考1若a(x，y)，试将向量的模|a|用坐标表示答案axiyj，x，yR，a2(xiyj)2(xi)22xyij(yj)2x2i22xyijy2j2.又i21，j21，ij0，a2x2y2，|a|2x2y2，|a|.思考2若A(x1，y1)，B(x2，y2)，如何计算向量的模？答案(x2，y2)(x1，y1)(x2x1，y2y1)，|.梳理向量模长a(x，y)|a|以A(x1，y1)，B(x2，y2)为端点的向量|知识点三平面向量夹角的坐标表示思考设a，b都是非零向量，a(x1，y1)，b(x2，y2)，是a与b的夹角，那么cos如何用坐标表示？答案cos.1若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则abx1x2y1y20.()2若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则abx1y2x2y10.()3若两个非零向量的夹角满足cos0，则两向量的夹角一定是锐角()提示当两向量同向共线时，cos10，但夹角0，不是锐角.类型一数量积的坐标运算例1(1)已知a(2，1)，b(1，1)，则(a2b)(a3b)等于()A10B10C3D3考点平面向量数量积的坐标表示与应用题点坐标形式下的数量积运算答案B解析a2b(4，3)，a3b(1,2)，所以(a2b)(a3b)4(1)(3)210.(2)如图所示，在矩形ABCD中，AB，BC2，点E为BC的中点，点F在边CD上，且2，则的值是_考点平面向量数量积的坐标表示与应用题点坐标形式下的数量积运算答案解析以A为原点，AB所在直线为x轴、AD所在直线为y轴建立如图所示平面直角坐标系AB，BC2，A(0,0)，B(，0)，C(，2)，D(0,2)，点E为BC的中点，E(，1)，点F在边CD上，且2，F.(，1)，2.反思与感悟数量积坐标运算的技巧(1)进行数量积运算时，要正确使用公式abx1x2y1y2，并能灵活运用以下几个关系：|a|2aa；(ab)(ab)|a|2|b|2；(ab)2|a|22ab|b|2.(2)在平面几何图形中求数量积，若几何图形规则易建系，一般先建立坐标系，写出相关向量的坐标，再求数量积跟踪训练1向量a(1，1)，b(1,2)，则(2ab)a等于()A1B0C1D2考点平面向量数量积的坐标表示与应用题点坐标形式下的数量积运算答案C解析因为a(1，1)，b(1,2)，所以2ab2(1，1)(1,2)(1,0)，则(2ab)a(1,0)(1，1)1，故选C.类型二平面向量的模例2已知平面向量a(3,5)，b(2,1)(1)求a2b及其模的大小；(2)若ca(ab)b，求|c|.考点平面向量模与夹角的坐标表示的应用题点利用坐标求向量的模解(1)a(3,5)，b(2,1)，a2b(3,5)2(2,1)(34,52)(7,3)，|a2b|.(2)ab651，cab(1,6)，|c|.反思与感悟求向量a(x，y)的模的常见思路及方法(1)求模问题一般转化为求模的平方，与向量数量积联系要灵活应用公式a2|a|2x2y2，求模时，勿忘记开方(2)aaa2|a|2或|a|，此性质可用来求向量的模，可以实现实数运算与向量运算的相互转化跟踪训练2已知向量a(2,1)，ab10，|ab|5，则|b|等于()A.B.C5D25考点平面向量模与夹角的坐标表示的应用题点利用坐标求向量的模答案C解析a(2,1)，a25，又|ab|5，(ab)250，即a22abb250，5210b250，b225，|b|5.类型三平面向量的夹角问题例3(2017山东枣庄八中月考)已知点A(3,0)，B(0,3)，C(cos，sin)，O(0,0)，若|，(0，)，则，的夹角为()A.B.C.D.考点平面向量夹角的坐标表示与应用题点求坐标形式下的向量的夹角答案D解析因为|2()222296cos113，所以cos，因为(0，)，所以，所以C，所以cos，因为0，所以，所以，的夹角为，故选D.反思与感悟利用向量的数量积求两向量夹角的一般步骤(1)利用向量的坐标求出这两个向量的数量积(2)利用|a|求两向量的模(3)代入夹角公式求cos，并根据的范围确定的值跟踪训练3已知a(1，1)，b(，1)，若a与b的夹角为钝角，求的取值范围考点平面向量夹角的坐标表示与应用题点已知坐标形式下的向量夹角求参数解a(1，1)，b(，1)，|a|，|b|，ab1.又a，b的夹角为钝角，即1且1.的取值范围是(，1)(1,1)类型四平面向量的垂直问题例4在ABC中，(2,3)，(1，k)，若ABC是直角三角形，求k的值考点向量平行与垂直的坐标表示的应用题点已知向量垂直求参数解(2,3)，(1，k)，(1，k3)若A90，则213k0，k；若B90，则2(1)3(k3)0，k；若C90，则1(1)k(k3)0，k.故所求k的值为或或.反思与感悟利用向量数量积的坐标表示解决垂直问题的实质是把垂直条件代数化，若在关于三角形的问题中，未明确哪个角是直角时，要分类讨论跟踪训练4已知a(3,2)，b(1,0)，若向量ab与a2b垂直，则实数的值为()A.BC.D考点向量平行与垂直的坐标表示的应用题点已知向量垂直求参数答案B解析由向量ab与a2b垂直，得(ab)(a2b)0.因为a(3,2)，b(1,0)，所以(31,2)(1,2)0，即3140，解得.1已知a(3,4)，b(5,12)，则a与b夹角的余弦值为()A.B.C.D.考点平面向量夹角的坐标表示与应用题点求坐标形式下的向量的夹角答案A解析|a|5，|b|13.ab3541263.设a，b夹角为，所以cos.2若向量a(x,2)，b(1,3)，ab3，则x等于()A3B3C.D考点平面向量数量积的坐标表示与应用题点已知数量积求参数答案A解析abx63，故x3.3已知向量m(1,1)，n(2,2)，若(mn)(mn)，则等于()A4B3C2D1考点向量平行与垂直的坐标表示的应用题点已知向量垂直求参数答案B解析因为mn(23,3)，mn(1，1)，由(mn)(mn)，可得(mn)(mn)(23,3)(1，1)260，解得3.4若平面向量a(1，2)与b的夹角是180，且|b|3，则b等于()A(3,6) B(3，6)C(6，3) D(6,3)考点平面向量数量积的坐标表示与应用题点已知数量积求向量的坐标答案A解析由题意设ba(，2)(0)，则|b|3，又0，3，故b(3,6)5已知a(4,3)，b(1,2)(1)求a与b的夹角的余弦值；(2)若(ab)(2ab)，求实数的值考点向量平行与垂直的坐标表示的应用题点已知向量垂直求参数解(1)ab4(1)322，|a|5，|b|，cosa，b.(2)ab(4，32)，2ab(7,8)，(ab)(2ab)，(ab)(2ab)7(4)8(32)0，.1平面向量数量积的定义及其坐标表示，提供了数量积运算的两种不同的途径准确地把握这两种途径，根据不同的条件选择不同的途径，可以优化解题过程同时，平面向量数量积的两种形式沟通了“数”与“形”转化的桥梁，成为解决距离、角度、垂直等有关问题的有力工具2应用数量积运算可以解决两向量的垂直、平行、夹角以及长度等几何问题，在学习中要不断地提高利用向量工具解决数学问题的能力3注意区分两向量平行与垂直的坐标形式，二者不能混淆，可以对比学习、记忆若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则abx1y2x2y10，abx1x2y1y20.4事实上应用平面向量的数量积公式解答某些平面向量问题时，向量夹角问题却隐藏了许多陷阱与误区，常常会出现因模糊“两向量的夹角的概念”和忽视“两向量夹角”的范围，稍不注意就会带来失误与错误.一、选择题1已知a(3，1)，b(1，2)，则a与b的夹角为()A.B.C.D.考点平面向量夹角的坐标表示与应用题点求坐标形式下的向量的夹角答案B解析|a|，|b|，ab5.cosa，b.又a，b的夹角范围为0，a与b的夹角为.2设向量a(2,0)，b(1,1)，则下列结论中正确的是()A|a|b|Bab0CabD(ab)b考点向量平行与垂直的坐标表示的应用题点向量垂直的坐标表示的综合应用答案D解析ab(1，1)，所以(ab)b110，所以(ab)b.3已知向量a(0，2)，b(1，)，则向量a在b方向上的投影为()A.B3CD3考点平面向量投影的坐标表示与应用题点利用坐标求向量的投影答案D解析向量a在b方向上的投影为3.故选D.4已知向量a(1，n)，b(1，n)，若2ab与b垂直，则|a|等于()A1B.C2D4考点平面向量模与夹角的坐标表示的应用题点利用坐标求向量的模答案C解析(2ab)b2ab|b|22(1n2)(1n2)n230，n23，|a|2.5若a(2，3)，则与向量a垂直的单位向量的坐标为()A(3,2)B.C.或D以上都不对考点向量平行与垂直的坐标表示的应用题点向量垂直的坐标表示的综合应用答案C解析设与a垂直单位向量的坐标为(x，y)，(x，y)是单位向量的坐标形式，1，即x2y21，又(x，y)表示的向量垂直于a，2x3y0，由得或6已知a(1,1)，b(0，2)，且kab与ab的夹角为120，则k等于()A1B2C1D1考点平面向量夹角的坐标表示与应用题点已知坐标形式下的向量夹角求参数答案C解析|kab|，|ab|，(kab)(ab)(k，k2)(1，1)kk22，又kab与ab的夹角为120，cos120，即，化简并整理，得k22k20，解得k1.7已知(2,1)，(0,2)且，则点C的坐标是()A(2,6) B(2，6)C(2，6) D(2,6)考点向量平行与垂直的坐标表示的应用题点向量平行与垂直的坐标表示的综合应用答案D解析设C(x，y)，则(x2，y1)，(x，y2)，(2,1)，2(x2)0，2xy20，由可得C(2,6)二、填空题8已知平面向量a(2,4)，b(1，2)，若ca(ab)b，则|c|_.考点平面向量模与夹角的坐标表示的应用题点利用坐标求向量的模答案8解析由题意可得ab214(2)6，ca(ab)ba6b(2,4)6(1，2)(8，8)，|c|8.9已知a(3，)，b(1,0)，则(a2b)b_.考点平面向量数量积的坐标表示与应用题点坐标形式下的数量积运算答案1解析a2b(1，)，(a2b)b1101.10设m(a，b)，n(c，d)，规定两向量m，n之间的一个运算“”为mn(acbd，adbc)，若已知p(1,2)，pq(4，3)，则q的坐标为_考点平面向量数量积的坐标表示与应用题点已知数量积求向量的坐标答案(2,1)解析设q(x，y)，则pq(x2y，y2x)(4，3)q(2,1)11(2017广东揭阳惠来一中、揭东一中联考)已知向量(1,7)，(5,1)(O为坐标原点)，设M为直线yx上的一点，那么的最小值是_考点平面向量数量积的坐标表示与应用题点坐标形式下的数量积运算答案8解析设M，则，(1x)(5x)(x4)28.所以当x4时，取得最小值8.三、解答题12已知a，b，c是同一平面内的三个向量，其中a(1,2)(1)若|c|2，且c与a方向相反，求c的坐标；(2)若|b|，且a2b与2ab垂直，求a与b的夹角.考点向量平行与垂直的坐标表示的应用题点向量平行与垂直的坐标表示的综合应用解(1)设c(x，y)，由ca及|c|2，可得所以或因为c与a方向相反，所以c(2，4)(2)因为(a2b)(2ab)，所以(a2b)(2ab)0，即2a23ab2b20，所以2|a|23ab2|b|20，所以253ab20，所以ab.所以cos1.又因为0，所以.13平面内有向量(1,7)，(5,1)，(2,1)，点Q为直线OP上的一个动点(1)当取最小值时，求的坐标；(2)当点Q满足(1)的条件和结论时，求cosAQB的值考点向量平行与垂直的坐标表示的应用题点向量平行与垂直的坐标表示的综合应用解(1)设(x，y)，Q在直线OP上，向量与共线又(2,1)，x2y0，x2y，(2y，y)又(12y,7y)，(52y,1y)，(12y)(52y)(7y)(1y)5y220y125(y2)28.故当y2时，有最小值8，此时(4,2)(2)由(1)知(3,5)，(1，1)，8，|，|，cosAQB.四、探究与拓展14已知向量a(1,1)，b(1，m)，其中m为实数，则当a与b的夹角在内变动时，实数m的取值范围是()A(0,1) B.C.(1，) D(1，)考点平面向量夹角的坐标表示与应用题点已知坐标形式下的向量夹角求参数答案C解析