河南省开封市2019届高三数学上学期第一次模拟考试试题文（含解析）.docx

开封市2019届高三第一次模拟考试数学（文科）试题第卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先求得集合的范围，求对数的定义域求得集合的范围并求得其补集，再求的的范围.【详解】由解得.由解得，故，故，所以选C.【点睛】本小题主要考查函数定义域的求法，考查集合补集的基本概念和求交集.函数的定义域主要由以下方面考虑来求解：一个是分数的分母不能为零，二个是偶次方根的被开方数为非负数，第三是对数的真数要大于零，第四个是零次方的底数不能为零. 对于含有多个以上情况的解析式，要求它们的交集来得到最终的结果.2.已知复数满足，则复平面内与复数对应的点在A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】D【解析】【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z的坐标得答案【详解】由得，复数z在复平面内对应的点的坐标为（，），在第四象限故选：D【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题3.已知函数，则下列说法正确的是A. 的最小正周期为 B. 的最大值为2C. 的图像关于轴对称 D. 在区间上单调递减【答案】C【解析】【分析】利用余弦型函数的图像与性质逐一判断即可.【详解】f（x）sin4xcos4xsin2xcos2xcos2x，函数的最小正周期T，f（x）cos（2x）cos2xf（x），f（x）为偶函数，其图象关于y轴对称，f（x）cos2x在，上单调递减，故f（x）cos2x在，上单调递增故选：C【点睛】本题考查余弦函数的单调性、对称性以及最值，三角函数的周期公式，以及平方关系、二倍角的余弦公式的应用，熟练掌握函数的性质与公式是解题的关键4.已知等比数列中，有，数列是等差数列，其前项和为，且，则A. 26 B. 52 C. 78 D. 104【答案】B【解析】【分析】设等比数列的公比为q，利用等比性质可得，即，再结合，即可得到结果.【详解】设等比数列的公比为q，0，解得4，数列是等差数列，且故选：B【点睛】本题考查了等比数列与等差数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题5.已知直线，和平面，则“”是“”的A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】D【解析】试题分析：直线，平面，且，若，当时，当时不能得出结论，故充分性不成立；若，过作一个平面，若时，则有，否则不成立，故必要性也不成立由上证知“”是“”的既不充分也不必要条件，故选D考点：1、线面平行；2、命题的充分必要条件6.已知函数若，则的值是A. 1 B. 2 C. -2或2 D. 1或2【答案】D【解析】【分析】令分段函数每一段解析式等于，解出对应的值，由此求得的值.【详解】当时，符合题意.当时，解得（负根舍去），故的值为或.故选D.【点睛】本小题主要考查分段函数的概念，考查已知分段函数的函数值求对应的自变量的值，属于基础题.7.某几何体的三视图如图所示，其中正视图中的曲线为圆弧，则该几何体的体积为A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】首先确定空间几何体的结构特征，然后利用体积公式确定其体积即可.【详解】由题意可知，题中的结合体是一个正方体去掉四分之一圆柱所得的组合体，其中正方体的棱长为4，圆柱的底面半径为2，高为4，则组合体的体积：.本题选择B选项.【点睛】(1)求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；(2)若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解8.若，满足约束条件则的取值范围为A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】问题转化为在约束条件下目标函数的取值范围，作出可行域由斜率公式数形结合可得【详解】作出x，y满足约束条件的可行域如图：ABC，表示区域内的点与点（2，0）连线的斜率，联方程组可解得B（2，2），同理可得A（2，4），当直线经过点B时，M取最小值：，当直线经过点A时，M取最大值1则的取值范围：，1故选：A【点睛】线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一、准确无误地作出可行域；二、画标准函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三、一般情况下，目标函数的最大或最小会在可行域的端点或边界上取得.9.已知数列中，利用下面程序框图计算该数列的项时，若输出的是2，则判断框内的条件不可能是A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】本程序框图为“当型“循环结构，判断框内为满足循环的条件，模拟程序的运行过程知，该程序运行时计算A的值是以3为周期的函数，当程序运行后输出A2时求出满足题意的选项即可【详解】通过分析，本程序框图为“当型“循环结构，判断框内为满足循环的条件，循环前，A，n1；第1次循环，A121，n1+12；第2次循环，A1+12，n2+13；第3次循环，A1，n3+14；所以，程序运行时计算A的值是以3为周期的函数，当程序运行后输出A2时，n能被3整除，此时不满足循环条件分析选项中的条件，满足题意的C故选：C【点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.10.在中，为的重心，则的值为A. 1 B. C. D. 2【答案】A【解析】【分析】利用是的重心，得到，而，由此化简的表达式，并求得它的值.【详解】由的，而，由余弦定理得.由于是的重心，故，由于，所以.故选A.【点睛】本小题主要考查向量的线性运算，考查向量的数量积运算与三角形的重心的性质，属于中档题.11.已知是双曲线上一点，且在轴上方，分别是双曲线的左、右焦点，直线的斜率为，的面积为，则双曲线的离心率为A. 3 B. 2 C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用三角形的面积求出P的纵坐标，通过直线的斜率，求出P的横坐标，然后求解a，c，然后求解双曲线的离心率即可【详解】P是双曲线1（a0，b0）上一点，且在x轴上方，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，|F1F2|12，c6，PF1F2的面积为24，可得P的纵坐标y为：，y4直线PF2的斜率为4，所以P的横坐标x满足：，解得x5，则P（5，4），|PF1|13，|PF2|7，所以2a137，a3，所以双曲线的离心率为：e2故选：B【点睛】求离心率的常用方法有以下两种：（1）求得的值，直接代入公式求解；（2）列出关于的齐次方程(或不等式)，然后根据，消去后转化成关于的方程(或不等式)求解12.有四根长都为2的直铁条，若再选两根长都为的直铁条，使这六根铁条端点处相连能够焊接成一个对棱相等的三棱锥形的铁架，则此三棱锥体积的取值范围是A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】本题考查了学生的空间想象能力以及灵活运用知识解决数学问题的能力当构成三棱锥的两条对角线长为a，其他各边长为2，a有最小值，易得a的取值范围，由此能求出此三棱锥体积的取值范围【详解】构成三棱锥的两条对角线长为a，其他各边长为2，如图所示，AD=BC=此时0a2取BC中点为E,连接AE,DE,易得：BC平面ADE,，当且仅当4即时，等号成立，此三棱锥体积的取值范围是故选：【点睛】本题考查的知识点是空间想像能力，我们要结合数形结合思想，极限思想，求出a的最大值和最小值，进而得到形成的三棱锥体积最大值第卷本卷包括必考题和选考题两部分，第（13）题第（21）题为必考题，每个试题考生都必须做答，第（22）题第（23）题为选考题，考生根据要求做答.二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知向量，则在方向上的投影为_【答案】-3【解析】【分析】根据在方向上的投影公式，列式求得在方向上的投影.【详解】在方向上的投影为.【点睛】本小题主要考查一个向量在另一个向量上的投影的计算，考查向量的数量积的坐标表示，属于基础题.14.某班共有56名学生，现将所有学生随机编号，用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知12号、26号、54号同学在样本中，则样本中还有一名同学的编号是_【答案】40【解析】【分析】先求出组距，然后根据已知的第二个样本的编号，求得第三个样本的编号.【详解】从名学生中抽取名，组距为，由于抽取到第二个编号为号，故第三个样本的编号为号.【点睛】本小题主要考查系统抽样的知识，先求得系统抽样的组距，然后根据已知来求得未知的样本编号，属于基础题.15.赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元222年，赵爽为周髀算经一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽炫图”（以弦为边长得到的正方形组成）.类比“赵爽弦图”，可类似地构造如下图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设，若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边三角形的概率是_【答案】【解析】【分析】根据几何概型的概率公式，设DF2AF2a，求出DEF和ABC的面积，计算所求的概率值【详解】由题意，设DF2AF2a，且a0，由DFE，AFC；DEF的面积为SDEF2a2asina2，AFC的面积为SAFCa3asina2，在大等边三角形中随机取一点，此点取自小等边三角形的概率是P故答案为：【点睛】题主要考查“面积型”的几何概型，属于中档题. 解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与面积有关的几何概型问题关鍵是计算问题的总面积以及事件的面积；几何概型问题还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：（1）不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致错误；（2）基本事件对应的区域测度把握不准导致错误 ；（3）利用几何概型的概率公式时 , 忽视验证事件是否等可能性导致错误.16.已知数列的前项和为，数列的前项和为，满足，且.若存在，使得成立，则实数的最小值为_【答案】【解析】【分析】先根据数列的递推公式可求出，再利用累乘法求出通项公式，再构造数列BnT2nTn，判断数列的单调性，即可求出【详解】3Sn（n+m）an，3S13a1（1+m）a1，解得m2，3Sn（n+2）an，当n2时，3Sn1（n+1）an1，由可得3an（n+2）an（n+1）an1，即（n1）an（n+1）an1，累乘可得ann（n+1），经检验a12符合题意，ann（n+1），nN*，anbnn，bn，令BnT2nTn，则Bn+1Bn0，数列Bn为递增数列，BnB1，存在nN*，使得+TnT2n成立，B1，故实数的最小值为，故答案为：【点睛】本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和，以及数列的函数特征，考查满足条件的实数值是否存在的判断与求法，综合性强，难度大.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.在中，内角所对的边分别为，且.（1）求角；（2）若，的周长为6，求的面积.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理将已知的边转化为角的形式，然后利用三角形内角和定理以及两角和的正弦公式化简，由此求得的大小.（2）根据周长列出一个方程，利用余弦定理列出第二方程，解方程组求得的值，并求得三角形的面积.【详解】（1）由已知及正弦定理得：，.（2），的周长，由余弦定理得，的面积.【点睛】本小题主要考查利用正弦定理和余弦定理解三角形，考查三角形的周长公式和面积公式，还考查了三角形的内角和定理，以及两角和的正弦公式.正弦定理在本题中的作用是将边转化为角的形式，已知条件全部转化为角的形式后，再利用三角函数恒等变换的知识来化简求值.18.如图所示，是边长为2的正方形，平面，且.（）求证：平面平面；（）线段上是否存在一点，使二面角所成角的余弦值为？若存在，请找出点的位置；若不存在，请说明理由.【答案】()见解析() 【解析】【分析】（）先证BC平面ABE，进而得面面垂直；（）建立空间坐标系，设点F的位置，利用向量列方程求解【详解】（）平面，平面，平面，又，平面，又平面，平面平面.（）如图所示，建立空间直角坐标系，.假设线段上存在一点满足题意，易知：平面的一个法向量为，设平面的一个法向量为，由，得，取，得，.点为线段的中点时，二面角所成角的余弦值为.【点睛】空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.19.大学先修课程，是在高中开设的具有大学水平的课程，旨在让学有余力的高中生早接受大学思维方式、学习方法的训练，为大学学习乃至未来的职业生涯做好准备.某高中成功开设大学先修课程已有两年，共有250人参与学习先修课程.（）这两年学校共培养出优等生150人，根据下图等高条形图，填写相应列联表，并根据列联表检验能否在犯错的概率不超过0.01的前提下认为学习先修课程与优等生有关系？优等生非优等生总计学习大学先修课程250没有学习大学先修课程总计150（）某班有5名优等生，其中有2名参加了大学生先修课程的学习，在这5名优等生中任选3人进行测试，求这3人中至少有1名参加了大学先修课程学习的概率.参考数据：0.150.100050.0250.0100.0052.0722.7063.8415.0246.6357.879参考公式：，其中【答案】（1）列联表见解析 有关系（2）【解析】【分析】（1）根据优等生的人数、学习大学先修课程的人数，结合等高条形图计算数值，填写好表格，计算出的值，比较题目所给参考数据，得出“在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为学习先修课程与优等生有关系”这个结论.（2）利用列举法，求得基本事件的众数为种，其中“没有学生参加大学先修课程学习” 的情况有种，利用对立事件的概率计算方法，求得至少有名参加了大学先修课程学习的概率.【详解】（1）列联表如下：优等生非优等生总计学习大学先修课程50200250没有学习大学先修课程1009001000总列联表可得，因此在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为学习先修课程与优等生有关系.（2）在这5名优等生中，记参加了大学先修课程的学习的2名学生为，记没有参加大学先修课程学习的3名学生为，.则所有的抽样情况如下：共10种， ，其中没有学生参加大学先修课程学习的情况有1种，为.记事件为至少有1名学生参加了大学先修课程的学习，则.【点睛】本小题主要考查等高条形图的识别，考查列联表及独立性检验，考查古典概型等知识，属于中档题.20.已知抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，抛物线的动弦过点，过点且垂直于弦的直线交抛物线的准线于点.（）求抛物线的标准方程；（）求的最小值.【答案】() ()2【解析】【分析】（）由椭圆求得右焦点，根据抛物线的焦点求出p的值，再写出抛物线C的标准方程；（）当动弦AB所在的直线斜率不存在时，求得2；当动弦AB所在的直线斜率存在时，写出AB所在直线方程，与抛物线方程联立求出弦长|AB|；写出FM所在的直线方程，与抛物线方程联立求出弦长|MF|，再求的最小值，从而得出结论【详解】（）由椭圆方程得，椭圆的右焦点为抛物线的焦点为，抛物线的标准方程为.（）当动弦所在直线的斜率不存在时，易得：，.当动弦所在的直线斜率存在时，易知，的斜率不为0.设所在直线方程为，且，.联立方程组：，得；， 所在的直线方程为，联立方程组：，得点，综上所述：的最小值为2.【点睛】圆锥曲线中最值与范围问题的常见求法：(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；(2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下几个方面考虑：利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；利用基本不等式求出参数的取值范围；利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围21.设函数（其中）（1）求函数的单调区间；（2）当时，讨论函数的零点个数【答案】(1)答案见解析；(2)函数在定义域上有且只有一个零点【解析】试题分析：（1）由题意得函数函数的定义域，对函数求导，再对进行分类讨论，根据与，可得函数的单调区间；（2）依题意得，结合第一问的单调性，结合函数的图象，从两个方面考虑函数的变化趋势，或时，从而可得零点的个数.试题解析：（1）函数的定义域为，当时，令，解得.的单调递减区间是，单调递增区间是，当时，令，解得或.在和上单调递增，在上单调递减.当时，在上单调递增.当时，令，解得或，所以在和上单调递增，在上单调递减；（2），当时，由（1）知，当时，此时无零点，当时，.又在上单调递增在上有唯一的零点函数在定义域上有唯