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1992年量子力学考研试题 一. （类似1999年第一题）质量为的粒子，在一维无限深势阱中 中运动，若时，粒子处于 状态上，其中，为粒子的第个本征态。（1） 求时能量的可测值与相应的取值几率；（2） 求时的波函数及能量的可测值与相应的取值几率解：非对称一维无限深势阱中粒子的本征解为 （1） 首先，将归一化。由 可知，归一化常数为 于是，归一化后的波函数为 能量的取值几率为 能量取其它值的几率皆为零。（2） 因为哈密顿算符不显含时间，故时的波函数为 （3） 由于哈密顿量是守恒量，所以时的取值几率与时相同。二. 一个电子被禁闭在线谐振子基态，若在此态上有 求激发此电子到其第一激发态所需要的能量（用表示）。提示：利用维里定理。解：已知线谐振子的本征解为 ；由维里定理知，对于任意束缚态有 而线谐振子的位势为 于是， 对于线谐振子基态而言， 进而可知 利用已知条件及，得到 由基态激发到第一激发态所需的能量为 三. 设厄米特算符的本征矢为，构成正交归一完备系，定义一个算符 （1） 计算对易子；（2） 证明；（3） 计算迹；（4） 若算符的矩阵元为，证明 解： （1）对于任意一个态矢，有 故 （2） （3）算符的迹为 （4）算符 而 四. 自旋为、固有磁矩为（其中为实常数）的粒子，处于均匀外磁场中，设时，粒子处于的状态，（1） 求出时的波函数；（2） 求出时与的可测值及相应的取值几率。解：体系的哈密顿算符为 在泡利表象中，哈密顿算符的本征解为 （1） 在时，粒子处于的状态，即 而满足的本征方程为 解之得 由于，哈密顿算符不显含时间，故时刻的波函数为 （2）因为，所以是守恒量，它的取值几率与平均值不随时间改变，换句话说，只要计算时的取值几率就知道了时的取值几率。由于 ；故有 而的取值几率为 五. （见2001年第五题）两个质量皆为的非全同粒子处于线谐振子位中，若其角频率都是，加上微扰项（分别为第一个粒子与第二个粒子的坐标）后，试用微扰论求体系基态能量至二级修正、第二激发态能量至一级修正。解：体系的哈密顿算符为 其中， 已知的解为 其中， 将前三个能量与波函数具体写出来， 对于基态而言，体系无简并。利用公式 可知 显然，求和号中不
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