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第五章 大数定律与中心极限定理,第一节 大数定律,第二节 中心极限定理,第一节 大数定律,上一页,下一页,返回,一、契比雪夫不等式,设随机变量X具有均值E (X ) , 方差D (X ),则对 0 ,有不等式,例1：,定义1:,定理1:,上一页,下一页,返回,定理2:,上一页,下一页,返回,或,证明：设Xi表示第 i 次试验中事件A出现的次数，i=1,2,n,则X1,X2,Xn相互独立且均服从参数为p的 (0-1)分布，故有 E(Xi)=p, D(Xi)=p(1-p) i=1,2,n且 ，由契比雪夫大数定律知，对于任意的 ，有,上一页,下一页,返回,上一页,下一页,返回,(独立同分布的中心极限定理)设随机变量X1 ,X2 ,Xn ,相互独立,服从同一分布,且具有数学期望和方差，E(Xk)=, D(Xk)= 20( k=1,2,).则随机变量,定理5:,的分布函数Fn(x) , 对于任意x ,有,第二节 中心极限定理,上一页,下一页,返回,X1 ,X2 ,Xn ,相互独立,服从同一分布,且具有数学期望和方差，E (Xk)=, D(Xk)=2 0( k=1,2,).则随机变量,(李雅普诺夫定理)设随机变量X1 ,X2 ,Xn ,相互独立,它们具有数学期望和方差:,定理6:,上一页,下一页,返回,上一页,下一页,返回,例2：某保险公司有10000个同龄又同阶层的人参加人寿保险，已知该类人在一年内死亡的概率为0.006，每个参加保险的人在年初付12元保险费，而在死亡时家属可向公司领得1000元。问在此项业务活动中： 保险公司亏本的概率是多少？ 保险公司获得利润不少于40000元的概率是多少？,上一页,下一页,返回,PX120=1-,解：设这10000人中一年内死亡的人数为X，则Xb(10000,0.006),保险公司一年收取1000012=120000元保险费，故仅当每年死亡人数超过120人时公司才会亏本，当每年死亡人数不超过80人时公司获利不少于40000元。由此可知，所求的概率分别为PX120及 。,上一页,下一页,返回,例3 每次射击命中目标的炮弹数的数学期望为2,均方差为1.5,求在100次射击中,有180发到220发炮弹击中目标的概率。,分析：,1、每次射击中所发射的炮弹数Ni是未知的，,2、若记Y为100次射击中击中目标的炮弹数，则,因而每次击中目标的炮弹数Xi的分布也未知， 但 i= 2,i=1.5；,而要求的是 P180Y220；,解：依题意，各次射击命中目标Xi,i=1,2,100,是独立、同分布的，且=2,=1.5；而100次射击中击中目标的次数 由同分
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