函数与方程及函数的应用问题.ppt

第3讲 函数与方程及函数的应用问题 1.函数的零点与方程的根 （1）函数的零点 对于函数f(x)，我们把使f(x)=0的实数x叫做函数 f(x)的零点. （2）函数的零点与方程根的关系 函数F(x)=f(x)-g(x)的零点就是方程f(x)=g(x)的 根，即函数y=f(x)的图象与函数y=g(x)的图象交点 的横坐标.,（3）零点存在性定理 如果函数y=f(x)在区间a,b上的图象是连续不 断的一条曲线，且有f(a)f(b)0，那么，函数 y=f(x)在区间(a,b)内有零点，即存在c(a,b)使 得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的根. 注意以下两点：满足条件的零点可能不唯一； 不满足条件时，也可能有零点. （3）二分法求函数零点的近似值，二分法求方程 的近似解.,2.函数的应用 函数应用的基本过程为,一、函数零点的判定 例1 若函数f(x)=|4x-x2|-a的零点个数为3，则 a= . 思维启迪 f(x)的零点的个数即为函数y=|4x-x2| 与y=a的交点的个数.所以用数形结合的思想方法 求解. 解析 y=|x2-4x|的图象如图,函数y=|x2-4x|的图象与函数y=4的图象恰有3个 公共点，a=4. 探究提高 （1）函数零点（即方程的根）的确定 问题，常见的有函数零点值或大致存在区间的 确定；零点个数的确定；两函数图象交点的 横坐标或有几个交点的确定.解决这类问题的常用 方法有解方程法、利用零点存在的判定或数形结 合法，尤其是那些方程两端对应的函数类型不同 的方程多以数形结合求解. （2）函数零点（即方程的根）的应用问题，即已 知函数零点的存在情况求参数的值或取值范围问 题，解决该类问题关键是用函数方程思想或数形 结合思想，构建关于参数的方程或不等式求解.,答案 4,变式训练1 (1)设函数f(x)= g(x)=log2x,则函数h(x)=f(x)-g(x)的零点个数是 （ ） A.4 B.3 C.2 D.1 解析 f(x)的图象与g(x)的 图象恰好有3个交点，如图. h(x)的零点个数是3.,4x-4 x1 x2-4x+3 x1，,B,（2）（2009福建文，11）若函数f（x）的零点 与g(x)=4x+2x-2的零点之差的绝对值不超过0.25， 则f(x)可以是 ( ) A.f(x)=4x-1 B.f(x)=(x-1)2 C.f(x)=ex-1 D. 解析 g(x)=4x+2x-2在R上连续且,设g(x)=4x+2x-2的零点为x0,则 又f(x)=4x-1的零点为 f(x)=(x-1)2的零点为 x=1; f(x)=ex-1的零点为x=0; 的零点为 故选A. 答案 A,二、函数与方程的综合应用 例2 已知函数f（x）=-x2+8x，g（x）=6lnx+m， 是否存在实数m，使得y=f（x）的图象与y=g（x） 的图象有且只有三个不同的交点？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，说明理由. 思维启迪 f(x)与g(x)图象的交点的问题可以转化 为研究 (x)=g(x)-f(x)的零点问题，即研究 (x)的 图象的变化趋势. 解 函数y=f(x)的图象与y=g(x)的图象有且只有三 个不同的交点,即函数 (x)=g(x)-f(x)的图象与x轴 的正半轴有且只有三个不同的交点., (x)=x2-8x+6lnx+m, 当x(0,1)时, (x)0, (x)是增函数; 当x(1,3)时, (x)0, (x)是增函数; 当x=1,或x=3时, (x)=0. (x)极大值= (1)=m-7, (x)极小值= (3)=m+6ln 3-15. 当x充分接近0时, (x)0,当x充分大时, (x)0,要使 (x)的图象与x轴正 半轴有三个不同的交点,必须且只须 即7m15-6ln3. 所以存在实数m,使得函数y=f(x)与y=g(x)的图象有 且只有三个不同的交点,m的取值范围为 (7,15-6ln3). 探究提高 f(x)的图象与g(x)的图象交点个数问题辅助函数 (x)=g(x)-f(x)的零点个数.另外，二次 方程根的分布问题可通过其相应抛物线而转化， 就是数形结合中的以形助数思想.,变式训练2 设函数f(x)=(1+x)2-mln(1+x), h(x)=x2+x+a. (1)当a=0时，f(x)h(x)在（0,+）上恒成立， 求实数m的取值范围； （2）当m=2时，若函数k(x)=f(x)-h(x)在0,2上 恰有两个不同的零点，求实数a的取值范围. 解 （1）f(x)h(x)1+x-mln(1+x)0 记 则f(x)h(x)在（0,+）上恒 成立等价于m (x)min.,当x(0,e-1)时，(x)0，故 (x)在x=e-1处 取得极小值，也是最小值， 即 (x)min= (e-1)=e，故me. (2)函数k(x)=f(x)-h(x)在0，2上恰有两个不 同的零点等价于方程(1+x)-2ln(1+x)=a在0，2 上恰有两个相异实根.,令g(x)=(1+x)-2ln(1+x),则 当x0,1）时，g(x)0 故g(x)在0，1）上是减函数，在（1，2上是 增函数， 故g(x)min=g(1)=2-2ln2,g(0)=1,g(2)=3-2ln3. 因为g(0)g(2)，所以只要g(1)ag(2)，即可以 使方程(1+x)-2ln(1+x)=a在0，2上恰有两个 相异实根，即a(2-2ln2,3-2ln3.,三、函数的实际应用 例3 某地有三家工厂，分别位于 矩形ABCD的顶点A，B及CD的中 点P处，已知AB=20 km,CB=10km， 为了处理三家工厂的污水，现要在矩形ABCD的区 域上（含边界），且与A，B等距离的一点O 处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道AO， BO，OP，设排污管道的总长为y km. （1）按下列要求写出函数关系式： 设BAO= (rad),将y表示成 的函数关系式； 设OP=x（km），将y表示成x的函数关系式. （2）请你选用（1）中的一个函数关系式，确定 污水处理厂的位置，使三条排污管道总长度最短.,思维启迪 本题可以根据图形，利用解三角形的 知识求得y关于 及x的函数关系式，而后根据解析 式特点选择恰当方法求函数的最小值. 解 (1)由条件知PQ垂直平分AB, 若BAO= (rad), 则 故 所以 故所求函数关系式为,若OP=x (km),则OQ=(10-x) (km), 所以 故所求函数关系式为 (2)选择函数模型, 令y=0,得 因为 所以 当 时，y0，y是 的增函数，,所以当 时， 这时点O位于线段AB的中垂线上， 且距离AB边 处. 探究提高 解决函数实际应用题的关键有两点： 一是认真读题，缜密审题，确切理解题意，明确 问题的实际背景；然后进行科学地抽象概括， 将实际问题归纳为相应的数学问题；二是要合理 选取参变量，设定变量之后，就要寻找它们之间 的内在联系，选用恰当的代数式表示问题中的关 系，建立相应的函数模型，最终求解数学模型使 实际问题获解.,变式训练3 某物流公司购买了一 块长AM=30米，宽AN=20米的矩形 地块AMPN，规划建设占地如图 中矩形ABCD的仓库，其余地方为道路和停车场， 要求顶点C在地块对角线MN上，B、D分别在边 AM、AN上，假设AB长度为x米. （1）要使仓库占地ABCD的面积不少于144平方 米，AB长度应在什么范围？ （2）若规划建设的仓库是高度与AB长度相同的长 方体建筑，问AB长度为多少时仓库的库容量最 大？（墙体及楼板所占空间忽略不计）,解 （1）依题意三角形NDC与三角形NAM相似， 所以 即 矩形ABCD的面积为 定义域为0x30, 要使仓库占地ABCD的面积不少于144平方米，即 化简得x2-30x+2160，解得12x18, 所以AB长度应在12，18内.,（2）仓库体积为 V=40x-2x2令V=0，得x=0或x=20. 当00, 当20x30时V0, 所以x=20时V取最大值 即AB长度为20米时仓库的库容量最大.,规律方法总结 1.函数与方程 （1）函数f(x)有零点方程f(x)=0有根函数f(x)的 图象与x轴有交点. （2）函数f(x)的零点存在性定理. 如果函数f(x)在区间a,b上的图象是连续不断的曲线，并且有f(a)f(b)0，那么，函数f(x)在区间（a,b）内有零点，即存在c(a,b)，使f(c)=0. 如果函数f(x)在区间a,b上的图象是连续不断的曲线，并且函数f(x)在区间a,b上是一个单调函数，那么当f(a)f(b)0时，函数f(x)在区间（a,b）内有唯一的零点，即存在唯一的c(a,b)，使f(c)=0.,如果函数f(x)在区间a,b上的图象是连续不断的曲线，并且有f(a)f(b)0，那么，函数f(x)在区间(a,b)内不一定没有零点. 如果函数f(x)在区间a,b上的图象是连续不断的曲线，那么当函数f(x)在区间（a,b）内有零点时不一定有f(a)f(b)0.例如函数f(x)=x3-5x2+6x在区间1，4上有零点2和3，却有f(1)f(4)0. 2.函数综合题的求解往往应用多种知识和技能.因此，必须全面掌握有关的函数知识，并且严谨审题，弄清题目的已知条件，尤其要挖掘题目中的隐含条件.要认真分析，处理好各种关系;把握问题的,主线，运用相关的知识和方法逐步化归为基本问题来解决. 3.应用函数模型解决实际问题的一般程序 与函数有关的应用题，经常涉及到物价、路程、产值、环保等实际问题，也可涉及角度、面积、体积、造价的最优化问题.解答这类问题的关键是确切的建立相关函数解析式，然后应用函数、方程和不等式的有关知识加以综合解答.,读题 （文字语言）,求解 （数学应用）,一、选择题 1.(2009青岛模拟)方程mx2+2(m+1)x+m+3=0仅有 一个负根，则m的取值范围是 ( ) A.（-3，0） B.-3，0） C.-3，0 D.-1，0 解析 当m=0时， 符合题意,当m0时， -3m0,验证：当一根为零即x1x2=0时，另一根为负 m=-3也符合,-3m0.故选C. 答案 2.（2009湖北文，8）在“家电下乡”活动中，某 厂要将100台洗衣机运往邻近的乡镇.现有4辆甲型 货车和8辆乙型货车可供使用.每辆甲型货车运输 费用400元，可装洗衣机20台；每辆乙型货车运输 费用300元，可装洗衣机10台.若每辆车至多只运 一次，则该厂所花的最少运输费用为 （ ） A.2 000元 B.2 200元 C.2 400元 D.2 800元,C,解析 设需甲型货车x辆,乙型货车y辆,由题意知 作出其可行域如图， 可知目标函数z=400x+300y在点A处取最小值， z=4004+3002 =2 200(元). 答案 B,3.已知函数f（x）=x|x-4|-5，则当方程f（x）=a有三 个根时，实数a的取值范围是 ( ) A.-5-1 解析 在平面直角坐标系中画出函数f（x）=x|x- 4|-5= 的图象，由图象可得当 -5a-1时，直线y=a与函数f（x）的图象有3个交 点，即方程f （x）=a有三个根，所以选A.,x2-4x-5, x4 -x2+4x-5, x4,A,4. 函数y=f(x)(xR)；满足f(x+2)=f(x)，且x (-1,1时f(x)=|x|，则方程 f(x)=lg|x|的解的个数 为 （ ） A.16 B.18 C.20 D.无数个 解析 由于函数y=f(x)与y=lg|x|均为偶函数，且 f(x)为周期为2的周期函数，所以只考虑x0即可. 由它们的图象可知x0时有9个交点，故总共有18 个交点. 方程f(x)=lg|x|有18个解.,B,5. 设函数y=x3与 的图象的交点为(x0,y0)， 则x0所在的区间是 （ ） A.（0，1） B.（1，2） C.（2，3） D.（3，4） 解析 在同一坐标系中，分别画出y=x3与 的图象，观察易知图象的交点存在且唯一，又 所以两函数交点横坐标 x0(1,2).,B,二、填空题 6.某工厂生产某种产品固定成本为2 000万元，并且 每生产一单位产品，成本增加10万元.又知总收入 K是单位产品数Q的函数， 则总利 润L（Q）的最大值是 万元. 解析 总利润L（Q）=K（Q）-10Q-2 000 故当Q=300时，总利润L（Q）的最大值为2 500万 元.,2 500,7.如图是用二分法求方程2x+3x=7在（1，2）内近似 解的程序框图，要求解的精确度为0.01，则框图 中（1）处应填 ，（2)处应 填 .,f(a)f(m)0,|a-b|0.01或f(m)=0,8.（2009山东文，14）若函数f(x)=ax-x-a(a0,且 a1)有两个零点，则实数a的取值范围是 . 解析 设函数y=ax(a0，且a1)和 函数y=x+a，则函数f(x)=ax-x-a(a0, 且a1)有两个零点，就是函数y=ax (a0，且a1)与函数y=x+a有两个交点，由图象可 知当01时，因为函数y=ax(a1)的图象过点 （0，1），而直线y=x+a所过的点一定在点（0，1） 的上方，所以一定有两个交点，所以实数a的取值 范围是a1.,