常微分方程数值解法.ppt

8.4 线性多步法,8.4.2 基于Taylor展开的方法,8.4.2 基于Taylor展开的方法,8.4.1 基于数值积分的方法,8.4 线性多步法,常微分方程初值问题（8.1.1）的数值解法中，除了Runge-Kutta型公式等单步法之外，还有另一种类型的解法，即某一步的公式不仅与前一步解的值有关，而且与前若干步解的值有关，利用前面多步的信息预测下一步的值，这就是多步法的基本思想，可以期望获得较高的精度。构造多步法有多种途径，下面先讨论基于数值积分的方法。,8.4.1 基于数值积分的方法,如推导Newton-Cotes求积公式一样，用等距节点的插值多项式来替代被积函 数，再对插值多项式积分，这样就得到一系列求积公式。 例如，用梯形方法计算积分项,代入（8.4.1）式有,据此即可导出公式（8.1.4）。 一般地，设由 个数据点 构造插值多项式 ，这里， 。运用插值 公式有,将（8.4.1）离散化即得下列计算公式,（8.4.2）,其中,由此可得（8.4.2）中的系数，其具体数值见表8-6。公式（8.4.2）是一个r+1 步的显式公式，称为Adams显式公式。r=0时，即为Euler公式。,应用实例： 考虑跳伞员的下落速度。 自由落体运动可用牛顿第二定律描述：F=ma。实验表明，空气阻力模型 为 ，其中 ，比例系数 k 依赖于物体的大小、形状，空气 的密度和粘度。跳伞员下落的速度可描述为下列模型：,负号表示下降。显然，当 1 p 2 时，适合于数值方法求解。 设 k / m =1.5，g=32，先用中点法提供开始值，再用下列两步而阶方法,求其他需要计算的值。当 p=1 时，取 h=0.2 有,可见，三秒末跳伞员的末速度约有 21 。 若将模型修改为 p=1.1，取 h=0.2，则有计算结果：,可见三秒末跳伞员的末速度减慢了。计算结果如下图所示,+ 表示 p=1时的解，* 表示 p=1.1时的解,在上述Adams显式公式的推导中，选用了 作为插值 节点。这样的插值多项式 在求积区间 上逼近 是一 个外推结果。为了改善逼近效果，我们变外推为内推，即改用 为插值节点，用数据点 构造插值 多项式 ，则有,于是我们有如下的计算公式,（8.4.3）,其中,其具体数值见表 8-7。公式（8.4.3）是隐式公式，称为 Adams隐式公式。 r=0，1时分别为隐式 Euler公式和梯形公式。,对于隐式公式（8.4.3），需要用迭代求解。确定 的迭代公式为,迭代收敛条件为 ，其中 的Lipschitz常数 利用插值多项式的余项，可以求出 Adams方法的局部截断误差。当然 也可以从得到的显式和隐式 Adama公式，有局部截断误差的定义来求出方 法的局部截断误差。表 8-8中列出了它们的局部截断误差的主项，有表 8-8 可以看出，Adams隐式方法的局部截断误差要小。,8.4.2 基于Taylor展开的方法,当 时，则（8.4.4）为显式多步式。当 时，（8.4.4）为隐式多 步式。它们的局部截断误差为,现利用Taylor展开定理，确定线性多步公式（8.4.4）中的待定参数 ， 使她达到 阶精度，即 。 对（8.4.5）式的右端各项在 点处作Taylor展开有,将它们代入（8.4.5）式整理后得,而且得到线性多步法的局部截断误差,由于 r=3，p=4 ，由（8.4.6）得到5个方程，而（8.4.7）中有9个为知量， 因此，（8.4.7）中有4个自由度。 若取 ，由（8.4.6）式得到其他5个待定参数的 方程组，解之得,若 取 ，由（8.4.6）式得到其他5个待定参数的 方程组，解之得,由此构造成著名的四步四阶显式Milne公式和它的余项,若取 ，求解（8.4.6）得著名的三步四阶隐式 Hamming公式及其余项：,若取 ，求解（8.4.6）得到隐式Simpson公式及其 余项：,例8.5 分别取 h=0.2，2，用四阶显式 Milne公式和四阶隐式 Hamming公式 求解例8.4所给的初值问题。 解 我们用单步法提供多步法的初值。由4阶经典R-K公式为Milne公式提 供初值 ，为 Hamming公式提供 。h=0.2和h=2时的 计算结果及准确解之间的误差分别列于表8-9和表8-10。 从表8-9看出，两种多步法的计算精度都很高，Hamming公式化比 Milne公 式更精确。这是因为 Hamming公式的截断误差主项的系数比 Milne公式小。从 表8-10看到，当计算步长变大后，显式多步法 Milne公式的计算结果误差增大， 不稳定，而隐式多步法 Hamming公式的计算结果仍然是稳定的，这说明隐式公 式的稳定性比同阶的显式公式好。,表8-9,表 8-10,经典R-K法和上述四阶线性多步法公式都是四阶精度，但每前进一步，前 者要计算4次微分方程右端方程，而后者只要计算一次新的右端函数值，计算 量减小了。,8.4.3 预估-校正算法 显式多步法容易计算，但其精度和稳定性没有相应的隐式方法好。然而， 隐式多步法需解方程，如果初值选得不当，则计算量较大。因此，设法选取好 的迭代初值是必要的。初值的自然选取是采用同阶显式多步法计算得到的解作 为隐式方法迭代的初值。这样，迭代次数不会多。若只迭代一次，则这样的算 法就是预估-校正算法。对于线性多步法，常用的预估校正方法有四阶 Admas 显隐式预估-校公式和 Milne-Hamming 方法。,1.Adams 预估-校正公式 由（8.4.9）式作为预估公式，由（8.4.13）式作为校正公式，构成 Adams 预估- 校正公式：,若需作进一步的修正，则记上式所得的 ，由（8.4.10）和 （8.4.14）式有,于是得到,由此可见，若记,则 分别比 更好。但注意到， 的表达式中， 是未知的，因此改为,在计算时，可调节计算步长 h ，使 ，其中 是 要求达到的计算精度。初值 由同阶单步法提供，当计算 时， 可取 。,2. 修正Hamming公式 将 Milne 公式（8.4.11）和 Hamming 公式（8.4.15）结合，构成 Milne- Hamming 预估-校正公式：,若需作进一步的修正，则记上式所得的 ，由（8.4.12）和（8.4.16） 有,从而构成如下的修正 Hamming 公式：,在计算时，可调节计算步长 h ，使 。初值 由同阶单步法提供，当计算 时，可取 。,例8.6 取 h=0.2，用 Milne-Hamming 预估-校正公式和修正 Hamming 公 式求解例8.4所给的初值问题。 解 用经典 R-K