模煳逻辑与模煳推理.ppt

2019/7/20,1,第4章 模糊逻辑与模糊推理,4.1 逻辑推理概述 4.2 二值逻辑和模糊逻辑 4.3 模糊推理,2019/7/20,2,4.1 逻辑推理概述,逻辑学 研究概念、判断和推理形式的一门科学。 数理逻辑 逻辑与数学相结合的一门科学。 17世纪德国科学家莱布尼兹开始，把数学方法用于哲学的研究。 采用一套符号代替人们的自然语言进行表述。 在逻辑上只取“真”和“假”两值，也称二值逻辑。,2019/7/20,3,4.1 逻辑推理概述,推理 人类的一种重要的思维方式，从已知的判断推断出未知的判断。 逻辑学研究的重点。 推理的方式 演绎推理：以一般的普遍适用的原理为前提，推导到某个特殊情况作出结论的推理方法，即一般到特殊。 归纳推理：由特殊情形的前提，归纳出一般原理的结论的推理，即特殊到一般。,2019/7/20,4,4.1 逻辑推理概述,演绎推理 数理逻辑主要的研究内容。 演绎推理一般具有三段论法的形式。 从两个两个判断，得出第三个判断。 举例 苏格拉底论述： 大前提：所有的人都是要死的 小前提：苏格拉底是人 结论： 苏格拉底总是要死的,2019/7/20,5,4.1 逻辑推理概述,归纳推理（归纳法） 完全归纳法 在前提中列出全部推理的特殊情况，得出一般化的结论。 举例：数学归纳法 不完全归纳法 仅列出全部特殊情况的一个或几个，而归纳出一般的结论 举例：抽样试验 派生：类比推理 从特殊到特殊，利用两种事物的一部分属性相似，推断另一部分。,2019/7/20,6,4.1 逻辑推理概述,传统逻辑推理 基于二值逻辑 处理的信息和推理的规则是精确的、完备的 不精确推理（不确定推理、近似推理） 处理不精确、不确定、不完备的信息，利用不精确、不完备的知识、规则。 不精确性的起因：随机性、模糊性等 模糊逻辑推理（模糊推理） 基于模糊逻辑的方法处理由模糊性引起的不精确推理。,2019/7/20,7,4.2 二值逻辑和模糊逻辑,命题 句子：用来表达一个完整概念的语言或文字符号。 命题：一个有意思的句子，能够判断它的涵义是真或假。 命题的取值：“真”或“假” 举例： 月球是地球的卫星 。 命题：真 牛是食肉动物。 命题：假 今天开会吗？ 疑问句不是命题 计算机 不是句子不是命题,2019/7/20,8,4.2 二值逻辑和模糊逻辑,命题 真值：命题的真假值，一个命题的真和假 表示：“真” “1” “假” “0” 二值逻辑：逻辑值只有真或假，即0或1 命题属于二值逻辑 原子命题 简单句构成的命题。 复合命题 用命题联结词把两个或两个以上简单命题联结起来,2019/7/20,9,4.2 二值逻辑和模糊逻辑,命题联结词 析取（ ）：表示“或”。 合取（ ）：表示“与”、“并且”。 否定（）：表示对原命题的否定。 蕴含（ ）：表示“如果那么”。 等价（ ）：表示“当且仅当”，或称互蕴含。 传统命题逻辑基本公理 每一命题是真或假，但不能既真又假； 由确定的术语所组成的表达式，都是命题； 析取、合取、否定、蕴含、等价运算组成的表达式也是命题。,2019/7/20,10,4.2 二值逻辑和模糊逻辑,命题联结词 蕴含：,一个蕴含是“真”，必须满足三个条件之一： 1） 前提是真，结论是真； 在教书，是教师； 2） 前提是假，结论是假； 不教书，不是教师； 3） 前提是假，结论是真。 不在教书，是教师； 蕴含是“假”时，则： 4） 前提是真，结论是假。 在教书，不是教师。,2019/7/20,11,4.2 二值逻辑和模糊逻辑,命题联结词 用P，Q分别表示两个命题,逻辑关系用真值表示,2019/7/20,12,4.2 二值逻辑和模糊逻辑,命题联结词 二个重要的同义反复,从真值表可以获得证明：,2019/7/20,13,4.2 二值逻辑和模糊逻辑,蕴含特征函数表达式,或,2019/7/20,14,4.2 二值逻辑和模糊逻辑,模糊命题 含有模糊成分的命题 判断的结果：非真非假，处于真假之间的模棱两可的状态。 举例：他是个胖子。 很难判断命题取真或取假 更确切的说法：他是胖子的程度是多少。 取值：0，1 0，1 表示：用大字母加一“”表示，如： 。 的真值用 (或 )表示，,2019/7/20,15,4.2 二值逻辑和模糊逻辑,原子模糊命题 最基本的命题。 复合模糊命题 用命题联结词把两个或两个原子模糊命题联结起来。 命题联结词 析取（ ）：表示“或”。 合取（ ）：表示“与”、“并且”。 否定（）：表示对原命题的否定。 蕴含（ ）：表示“如果那么”。 等价（ ）：表示“当且仅当”，或称互蕴含。,2019/7/20,16,4.2 二值逻辑和模糊逻辑,4.2 二值逻辑和模糊逻辑 幂等律： 交换律： 结合律： 吸收律：,2019/7/20,17,4.2 二值逻辑和模糊逻辑,4.2 二值逻辑和模糊逻辑 分配律： 双否律： 德.摩根律： 常数运算法则：,2019/7/20,18,4.3 模糊推理,假言推理 模糊逻辑推理的基本形式。 假言推理的两种形式 肯定前件式 否定后件式 均为三段论形式的推理方式 三段论可对 的情况判断 三段论不能对 的情况判断,2019/7/20,19,4.3 模糊推理,假言推理的两种形式 肯定前件式： 大前提（一般规则）：IF x是A，THEN y是B 小前提（特殊证据）：x是A 结论： 是B 简记： （A）( B ) （A） （B）,2019/7/20,20,4.3 模糊推理,假言推理的两种形式 否定后件式： 大前提（一般规则）：IF x是A，THEN y是B 小前提（特殊证据）： 不是B 结论： x 不是A 简记： （A）( B ) （ ） （ ）,2019/7/20,21,4.3 模糊推理,模糊推理 假言推理所包含的概念由精确变为模糊 推理是近似的、非确定的 前提和结论都具有模糊性 例： 若西红柿是红的，则这个西红柿是熟的 这个西红柿有点红 这个西红柿有点熟 模糊概念：红的、熟的、有点红、有点熟,2019/7/20,22,4.3 模糊推理,模糊推理对应的形式 广义的肯定前件式： 大前提（一般规则）：IF x是 ，THEN y是 小前提（特殊证据）：x是 结论： 是 简记： （ ）( ) （ ） （ ）,2019/7/20,23,4.3 模糊推理,模糊推理对应的形式 广义的否定后件式： 大前提（一般规则）：IF x是 ，THEN y是 小前提（特殊证据）： 不是 结论： x 不是 简记： （ ）( ) （ ） （ ）,2019/7/20,24,4.3 模糊推理,模糊推理 假言推理的小前提只能是A或者 模糊推理的小前提不限定为 或者 模糊推理的小前提可以是 等。 模糊推理的结论由模糊推理的合成规则给出。 模糊推理的推理方式 肯定前件式：一种前向模糊匹配的推理，将 与 匹配以激活 表达的规则，而后导出结论 ，它与前向数据驱动的推理相关。 否定后件式或肯定后件式：一种后向推理，它与后向目标驱动的推理相关。,肯定后件式,2019/7/20,25,4.3 模糊推理,模糊推理对应的形式 广义的肯定后件式： 大前提（一般规则）：IF x是 ，THEN y是 小前提（特殊证据）： 是 结论： x是 简记： （ ）( ) （ ） （ ）,2019/7/20,26,4.3 模糊推理,判断句 判断句：句型“x*是a”。 x*代表论域X上的任一个特定元素 a是表示概念的词 若a表示清晰概念，句型“x*是a”称为普通判断句 对某一 xX， “x*是a”可能为真，也可能为假 “x*是a”是命题 命题对应一个经典集合A： A是X上的集合，,2019/7/20,27,4.3 模糊推理,模糊判断句 对任一xX，集合A的特征函数就等于命题“x是A”的真值，即： 集合A是句型（a）的集合表示，成为判断句（a）的真域。 模糊判断句： “x*是a”中a的表示模糊的概念。 句型（a）表示对x为真的程度有多大的问题。 “x是a”是模糊命题，对应一个模糊集合 。 判断句（a）的真域 可用隶属函数表示：,2019/7/20,28,4.3 模糊推理,推理句 句型“若x*是a，则y*是b”，简记为 。 普通推理句：a，b均表示清晰的概念。 设x、y的论域分别是X、Y a、b两个清晰概念分别对应经典集合A和B 对于任意一个 命题 的真值计算：,2019/7/20,29,4.3 模糊推理,推理句 （a）的真域为 （b）的真域为 设R为推理句 的真域 显然R应为直积 的子集，即 当 对 为真，即蕴含式的真值为1。 即,2019/7/20,30,4.3 模糊推理,推理句 公式推导： 特征函数：,2019/7/20,31,4.3 模糊推理,推理句 “若x*是a，则y*是b”举例 设关于热交换器问题有两个论域X = 1，2，3，4和Y = 1，2，3，4，5，6。其中X的元素代表标准温度，Y的元素代表标准压力。A = 2，3和B = 3，4分别为论域X，Y上的清晰集合。 求：演绎推理“如果A，则B”所确定关系R的隶属函数矩阵。 解：列出A，B,2019/7/20,32,4.3 模糊推理,推理句 “若x*是a，则y*是b”举例 计算 计算,2019/7/20,33,4.3 模糊推理,推理句 “若x*是a，则y*是b”举例 计算 计算R,2019/7/20,34,4.3 模糊推理,模糊推理句 句型：若x*是a，则 y*是b，简记为 。 若a和b均为模糊概念，则 为模糊推理句。 （a）的真域为模糊集合 （b）的真域为模糊集合 定义： 的真域为模糊集合 ，蕴含式 的真值：,2019/7/20,35,4.3 模糊推理,模糊推理句 表示 对（x，y）为真的程度，即 ： 对应集合形式为： 注：若给出其它形式的模糊蕴含式定义， 也会有不同的形式。,2019/7/20,36,4.3 模糊推理,常用的模糊推理句 若A则B型（或IF A THEN B） 例：若室温较高，则开电风扇。 若A则B否则C型（或IF A THEN B ELSE C） 例：若室温较低，则停电风扇，否则继续开电风扇。 若A且B则C型（或IF A AND B THEN C） 例：若室温偏高且不断上升，则开电风扇。,2019/7/20,37,4.3 模糊推理,“if A then B else C”语句 可表示为： 显然：A是原因，在一个论域X上；B、C都是结果，在另一个论域Y上。 两个蕴含语句的特征函数分别为： 即：A为真时，产生B，A为假时，与B无关；A为假时，产生C，A为真时，与C无关。,2019/7/20,38,4.3 模糊推理,“if A then B else C”语句 真值表 从上表可知：,2019/7/20,39,4.3 模糊推理,“if A then B else C”语句 集合表示： 显然： 二值逻辑扩展到模糊逻辑，结论： 若有论域X、Y， 二元模糊关系 的隶属函数为： 集合表示：,2019/7/20,40,4.3 模糊推理,“if A then B else C”语句举例（续前例） 设C = 5，6为标准压力论域Y上的另一个清晰集合 。 求：演绎推理“如果A则B，否则C”所确定的关系矩阵R。 解：写出C的Zadeh表示,2019/7/20,41,4.3 模糊推理,“if A then B else C”语句举例（续前例） 计算 计算R,2019/7/20,42,4.3 模糊推理,“if A and B then C”语句 模糊控制：A为误差，B为误差变化率，C为控制量。 显然：A属于论域误差X，B属于论域误差变化率Y，C属于论域控制量Z，即 语句确定的为三元模糊关系 ：,2019/7/20,43,4.3 模糊推理,“if A and B then C”语句 由于在模糊控制中，“若M则N”语句中，只考虑 ，而不一定要考虑 故对二元关系： 有： 集合表示法： 隶属函数表示法： 对于三元关系 ，可表示为： 隶属函数表示：,2019/7/20,44,4.3 模糊推理,数学上三维矩阵的求取过程 有i j 个元素的二维矩阵T2可表示如下： 二维矩阵T2和一个k个元素的行向量执行乘法是，则可以得到三维矩阵T3，可表示如下：,2019/7/20,45,4.3 模糊推理,三维矩阵T3实质是把二维矩阵T2的每行都变成列向量，再以i个这样的列向量和第三维的k个元素相乘。,2019/7/20,46,4.3 模糊推理,三元模糊关系 的计算方法： 第一步：求 ，即 第二步：把二元关系 排成列向量形式，并且，每一行形成一个列向量。 第三步：用 中的每个列向量和 行向量执行操作。 举例：已知输入模糊量为： 输出模糊量为：,2019/7/20,47,4.3 模糊推理,求“若A且B则C”语句的关系 。 根据 ，得： 从 ，则有,2019/7/20,48,4.3 模糊推理,三元模糊关系 如下：,2019/7/20,49,4.3 模糊推理,模糊推理的合成规则 推理规则是函数过程的一般化,图4-1 函数,从x = a和y = f(x),我们能够推断出：y = b = f(a),b可以看成直线x = a与f(x)的交点在Y上的投影,2019/7/20,50,4.3 模糊推理,模糊推理的合成规则,图4-2 区间值函数,a*,2019/7/20,51,4.3 模糊推理,模糊推理的合成规则,图4-3 模糊推理合成规则,2019/7/20,52,4.3 模糊推理,模糊推理的合成规则 令 根据 的定义： 与 的交采用取小运算： 假定 中有有限个隶属度不为0的元素，即,2019/7/20,53,4.3 模糊推理,模糊推理的合成规则 可表示为： 进而： 因此， 到Y轴的投影可以看成n个 到Y轴投影的重叠。 每一个 到Y轴的投影 ，有：,2019/7/20,54,4.3 模糊推理,模糊推理的合成规则 对n个 到Y轴的投影 是 的并，即： 因而： 对于更一般的情况： 上式称为合成规则，记为：,2019/7/20,55,4.3 模糊推理,模糊推理的合成规则举例 设： 求：,2019/7/20,56,4.3 模糊推理,模糊推理的合成规则举例 解：,2019/7/20,57,4.3 模糊推理,模糊推理的基本形式的算法 肯定前件式： （ ）( ) （ ） （ ） 其中： 显然，对于肯定前件式有,2019/7/20,58,4.3 模糊推理,Zadeh的模糊推理算法 Mamdani的模糊推理算法,2019/7/20,59,4.3 模糊推理,模糊推理的基本形式的算法 肯定后件式： （ ）( ) （ ） （ ） 变形为： （ ） ( ) （ ） （ ）,2019/7/20,60,4.3 模糊推理,模糊推理