杆梁问题的有限元法.ppt

有限元法基础 Finite Element Method,Long yuhong, Ph D School of Mechantronic Engineering, Guilin University of Electronic Technology, Guilin, 541004, P.R.C. TelE-mail: ,Institute of Mechanical Engineering and Automation IMEA,第二章 杆件问题有限元法,要 点 了解杆件系统有限元法的解是精确解； 杆件系统中的单元都在单元局部座标中讨 论，然后再投影到整体座标中去； 杆件系统中的单元是梁单元，其变形以弯曲 和拉伸变形为主，常忽略剪切变形的影响。,第二章 杆梁问题有限元法,铰连接 拉压力 与截面大小有关 固定连接 拉压、弯曲、扭转 与截面大小、形状、方位有关,梁：,桁杆：,引 言,K称为对应于施加在系统上各节点力的刚度矩阵,引 言,单元结点位移向量,单元结点力向量：,引 言,一、单个弹簧的刚度矩阵,引 言,二、组合弹簧的刚度矩阵,引 言,所研究的对象是细长的杆件，即轴线方向的尺寸远比其他二个方向的尺寸大的多，如轴支柱、加强筋等； 杆件系统可分为平面杆件系统和空间杆件系统，若组成结构物的杆件都在同一个平面内，外力也在这一平面内，则称为平面杆件系统； 若组成结构物的杆件不在同一个平面内，则称为空间杆件系统； 杆件系统中所用的单元主要为梁单元，如果各杆件只受拉压作用则采用桁架单元。,第二章 杆梁问题有限元法,2.1 桁架结构有限元法的研究对象,杆系结构单元,2.2 概述 杆系结构：梁、拱、框架、桁架等，它们常可离散成杆单元和梁单元。,拱,框架,桁架,结构离散,梁单元离散，各杆有局部坐标系，方向为杆的轴线方向。结构的刚度方程是在统一的坐标系（总体坐标系）中建立并求解，因此需将单元局部坐标各量转换到总体坐标系中。 取杆件与杆件交点、集中力作用点、杆件与支承的交点为节点。相邻两节点间的杆件段是单元。节点编号时力求单元两端点号差最小。,坐标系,有限元中的坐标系有整体坐标系和局部坐标系。对于一个结构，整体坐标系一般只有一个；而局部坐标系有很多个，一个单元就有一个局部坐标。并且对不坐标系每一个单元的规定都是相同的，这样，同类型单元刚度矩阵相同。,杆系结构单元主要有铰接杆单元和梁单元两种类型。它们都只有2个节点i、j。,约定：单元坐标系的原点置于节点i；节点i到j的杆轴（形心轴）方向为单元坐标系中x轴的正向。 y轴、z轴都与x轴垂直，并符合右手螺旋法则。 对于梁单元， y轴和z轴分别为横截面上的两个惯性主轴。,单元分析,下图示出了一维铰接杆单元，横截面积为A，长度为l，弹性模量为E，轴向分布载荷为px。单元有2个结点i，j，单元坐标为一维坐标轴x。,1、一维杆单元,单元结点力向量：,（1）位移模式和形函数, 位移模式,单元结点位移向量,因为只有2个结点，每个结点位移只有1个自由度，因此单元的位移模式可设为：,（2-3）,式中a1、a2为待定常数，可由结点位移条件 x=xi 时， u=ui x=xj 时， u=uj 确定。再将由此确定的a1、a2 其代入式（2-3），得, 形函数,将式（2-4）改写为下列形式,（2-5）,式中形函数N为,（2-6）,（2）应变矩阵,一维铰接杆单元仅有轴向应变,将式（2-5）、（2-6）代入上式，得,上式也可写为,（2-7）,式中B为应变矩阵,（2-8）,由应力应变关系,（3）应力矩阵,将式（2-7）代入上式，得,（2-9）,式中S为应力矩阵,（2-10）,(4) 单元刚度矩阵,单元刚度矩阵由虚功原理推出,对于等截面铰接杆单元(截面积为A ) ，v=Adx，故有：,(2-11),(5) 等效节点力,单元上作用分布力px，则等效节点力计算公式仍为以下形式,当分布力集度px为常数时，有,（2-13）,（2-12）,将式（2-8）代入上式，得,例2.1 一维拉杆,图示阶梯形直杆，各段长度均为l，横截面积分别为3A，2A，A，材料重度为，弹性模量E。求结点位移和各段杆中内力。,离散化：将单元划分为3个单元，4个结点。 单元刚度矩阵：,1 2,2 3,3 4,等效结点荷载：按静力等效原则，有:,对号入座，组成总刚，形成整体结构平衡方程:,设结点1的约束反力为F1，则有:,整体结构平衡方程,划去节点1所对应的第1行、行1列 。,解得结点位移,2、平面桁架杆单元（2D LINK1）,（1）单元坐标单元位移向量,看成局部坐标下的拉压杆,（2-15）,应力矩阵,（2-16）,应变矩阵,单元刚度矩阵,（2-14）,形函数,（2-16）,等效节点力,静力等效,3、空间杆单元（3D LINK8）,（1）单元坐标单元位移向量,（2-18）,(2) 形函数,（2-19）,(3) 应变矩阵,（2-20）,(4) 应力矩阵,（2-21）,(5) 等价节点力,（2-22）,(6) 单元坐标单元刚度矩阵,对于等截面铰接杆单元，,所讨论的Ke,Re, 都是在单元的局部座 标下进行的。由于杆件系统在空间中各有自己的方向，都 建立了各自的座标系，所以在分析中都必须统一在一个整 体座标中进行，一定要进行座标变换。,座标变换,1、坐标变换矩阵定义,把单元位移从结构坐标系转换到单元坐标系的变换矩阵定义为坐标变换矩阵，用符号T表示。有,（2-58）,2、结构坐标单元力,（2-59）,3、结构坐标单元刚度矩阵,（2-60）,三 坐标变换,坐标变换矩阵因单元类型不同而异。,1)、平面铰接杆单元（桁架元）,（2-61）,cd-ca,取,x对X、Y的方向余弦 y对X、Y的方向余弦,写成矩阵形式，,有,令cos(a),=sin(a),则矩阵相乘可写出,刚度矩阵的性质,单元刚度矩阵：对称性；奇异性， 即Ke =0。 总体刚度矩阵：对称性；奇异性；稀疏性；非零元素呈带状性。,是在j节点有单位位移时，而在i节点所需施加的力。,2.4 桁架结构的有限元法分析简例,图5-1 简例结构图,由两根杆件组成的桁架，杆件的截面积都为A，弹性模量为E，长度为l1及l2，在节点处受有外力Fx1，Fy1，Fx2，Fy2，Fx3，Fy3，求各节点的位移。,刚度矩阵的求法,分析步骤： 1. 离散结构物为有限个单元,分为2个单元，第一个单元的节点编号为1和2，第二个单元的节点编号为2和3。对于第一单元，在第1、2节点处的节点力为 ，表示节点施加在单元1上的节点力。相应的位移为 。下标表示节点的编号，上标表示单元的编号。同样第二单元上节点2、3处的节点力和节点位移分别为 和,图2-2 简例单元图,2.4 桁架结构的有限元法分析简例,图2-3 单元特性图,2. 研究单元特性,在单元分析中，主要是建立节点位移分量和节点力的关系式。,令u11=1，v11= u12= v12= 0，则杆1的变形量为1cos，由材料力学可知，杆1所受的轴向压力P,引起该位移的节点1的节点力分量,2.4 桁架结构的有限元法分析简例,由杆1处于平衡，可得节点2的节点力分量,同样，如果给定v11=1，u11= u12= v12= 0及 u12=1，u11= v11= v12= 0以及 v12=1，u11= v11= u12= 0，将会得到另外三组节点力,v11=1，u11= u12= v12= 0,u12=1，u11= v11= v12= 0,v12=1，u11= v11= u12= 0,2.4 桁架结构的有限元法分析简例,第一单元的节点力和节点位移的关系,若同时给定位移u11，v11， u12 ，v12，由迭加原理，可得,写成矩阵形式,2.4 桁架结构的有限元法分析简例,采用刚度矩阵，可写成,因此，就得出了单元的特性：节点力和节点位移的关系。, 单元的节点力列阵, 单元的刚度矩阵, 单元的节点位移列阵,2.4 桁架结构的有限元法分析简例,同样，可得到第二单元的节点力和节点位移的关系（也可直接将 = 90带入上一矩阵表达式，同时用 l2替代 l1）,单元的特性,对于单元的刚度矩阵 ，可以写成分块形式,单元刚度矩阵的子矩阵 表示：当单元 e 中节点 j 取单位位移，且其它节点位移为零时，对应于 i 节点的节点力。,2.4 桁架结构的有限元法分析简例,单元的节点力和节点位移的关系可写成,对于单元的刚度矩阵 ，也可以写成分块形式,单元的节点力和节点位移的关系可写成,其中 表示 j单元 i节点的节点力，,表示 j单元 i节点的节点位移，,2.4 桁架结构的有限元法分析简例,3. 单元组装,用节点的平衡建立外力与节点位移之间的关系 在整个结构物上的外力Fx1，Fy1，Fx2，Fy2，Fx3，Fy3 在整个结构物上的节点位移，节点1 ：u1= u11， v1= v11 节点3 ：u3= u23， v3= v23 节点2是单元1与单元2的连接点，它们的位移是协调的，即 u2= u12 = u22 ， v2 = v12 = v22,节点1的x方向,2.4 桁架结构的有限元法分析简例,节点3的x方向,节点3的y方向,节点2的y方向,节点1的y方向,节点2的x方向,2.4 桁架结构的有限元法分析简例,因此，组装后就得到了整结构的外力与节点位移之间的兓系式。, 总刚度矩阵，,结构物由2个单元迭加而成，每一个单元有2个节点。,因为结构物有3个节点，所以,，其中每一个子矩阵,将,扩展为3行3列，得到,2.4 桁架结构的有限元法分析简例,4. 形成方程,同样将,扩展为3行3列，得到,因此组装后的总刚度矩阵为,5. 解方程求位移,2.4 桁架结构的有限元法分析简例,有限元法分析过程