控制系统的状态空间表达式的解.ppt

第二章 控制系统状态空间表达式的解 21 线性定常齐次状态方程的解（自由解） 所谓系统的自由解，是指系统输入为零时，由初始状态引起的自由运动。此时，状态方程为齐次矩阵微分方程 若初始时刻从t0开始，即x（0）x0；则其解为,Ax,（2-1）,若初始时刻t0时的状态给定x（t0）x0，则式（2-1）有唯一的解,；t0,；tt0,（2-3）,（2-2）,从这个解的表达式可知，它反映了从初始时刻的状态向量x0，到任意t0或t t0时刻的状态向量x（t）的一种向量变换关系。变换矩阵就是矩阵指数函数 。它不同于上一章的线性变换矩阵T，它不是一个常数矩阵，它的元素一般是时间t的函数，即是一个n x n 时变函数矩阵；从时间的角度而言，这意味着它使状态矢量随时间的推移，不断地在状态空间中作转移，所以 也称为状态转移矩阵，通常记为（t）。 表示x（0）到x（t）的转移矩阵，而 表示x（t0）到x（t）的转移矩阵。这样， 的解，又可表示为 或,22 矩阵指数函数状态转移矩阵,一 、状态转移矩阵,齐次矩阵微分方程（2-1）的自由解为,或,状态转移矩阵（或矩阵指数）有以下关系,或,（2-12）,这种关系称为组合性质。 利用状态转移矩阵，可以从任意指定的初始时刻的状态矢量x（t0），求得任意时刻t的状态矢量x（t）。换言之，矩阵微分方程的解，在时间上可以任意分段求取，这是动态系统用状态空间表示法的又一优点,二 、状态转移矩阵（矩阵指数函数）的基本性质,1 、性质一,（2-13）,或,这就是组合性质，它意味着从转移到0，再从0转移到t的组合，即,2 、性质二,（2-14）,本性质意味着状态矢量从时刻t又转移到时刻t，显然，状态矢量是不变的。,3 、性质三,（2-15）,或,这个性质是，转移矩阵的逆意味着时间的逆转；利用这个性质，可以在已知x（t）的情况下，求出小于时刻t的x（t0），（t0t）。,4 、性质四,（2-16）,对于转移矩阵，有,或,这个性质说明，(t)或 矩阵与A矩阵是可以交换的。,对于 n x n方阵A和B，当且仅当ABBA时，有 ；而当ABBA时，则 。 这个性质说明，除非A与B矩阵是可交换的，它们各自的矩阵指数函数之积与其和的矩阵指数函数不等价。这与标量指数函数的性质是不同的。,5、 性质五,三 、几个特殊的矩阵指数函数,1 、若A为对角线矩阵，即,则,2 、若A能够通过非奇异变换予以对角线化，即,（2-17）,（2-18）,则,3、 若A为约旦矩阵,（2-19）,则,（2-20）,4、 若,四、 或 的计算,1 、根据 或 的定义直接计算,例2-1 已知,，求,解,此法具有步骤简便和编程容易的优点，适合于计算机计算。但是采用此法计算难于获得解析式的结果。,2、 变换A为约旦标准型,（1）A特征根互异,其中T是使A变换为对角线矩阵的变换阵。由式（2-18），有,例2-2 同 例2-1，即,解,根据式（1-47），可求得相应的变换矩阵,这样,（2）、A特征值有重根,例2-3,；求,解,按式（2-19）,按第一章所述的方法可求得变换矩阵 及 ，得,3 、利用拉氏反变换法求,(2-21),例2-4 同 例2-1，,；试用拉氏反变换法求,解,4 、应用凯莱哈密顿定理求,（1）由凯莱哈密顿定理，方阵A满足其自身的特征方程，即,故,它是 ， ， ， 的线性组合。,同理,以此类推， ， ，都可用 ， ， ， 表示。,（2）在 定义式（2-7）中，用（1）的方法可以消去A的n及n以上的幂次项，,即,（2-22）,例2-5 已知,，求 表示式中的,解 A的特征方程,按凯莱哈密顿定理，有,所以,而,以此代入下式中相应项中，即可消去A的2次及2次以上的各此幂,（3） 的计算公式,上例求 ，只是为了加深对式（2-22）的理解，并说明 是时刻t的函数；实际却不宜据之计算 ，一则是得不到 的解析表达式，二则是当A的维数较高时，将造成计算上的繁琐。这里提出计算 的一般公式。,A的特征值互异时，则,(2-23),A的特征值相同，为 时，则,(2-24),例2-7,；求,解 同例2-3， ， ，有一对重根。重根部分按式（2-24）处理，非重根部分的 按式（2-23）计算。,23 线性定常系统非齐次方程的解,现在讨论线性定常系统在控制作用u(t)作用下的强制运动。此时状态方程为非齐次矩阵微分方程,（2-25）,当初始时刻 ，初始状态 时；其解为,（2-26）,式中,很明显，式（2-25）的解由两步部分组成：等式右边第一项表示由初始状态引起的自由运动，第二项表示由控制激励作用引起的强制运动。,例2-8 求下述系统的单位阶跃函数作用下的解,解（1）先求（t）,从例2-2、例2-4已求得,（2）将,，代入式（2-26）,若初始条件为零，即x（0）0，则系统的响应仅取决于控制作用的激励部分，而为,在特定控制作用下，如脉冲函数、阶跃函数和斜