研究生概率论与数理统计资料与讲义.ppt

第十讲 随机过程 Stochastic(al) Processes,10.2 随机过程的数学定义,设 T 是一个无限实数集。我们把依赖于参数 t T 的一族 (无限多个) 随机变量收集在一起，称为随机过程，记成 X(t), t T 。 这里，对每一个t T，X(t) 都是一个随机变量。 T 称为参数集。常把 t 看作为时间，称 X(t) 为 t 时刻 过程的状态，称 X(t1)x (实数) 为t t1 时过程处于状态 x。 对于一切 t , X(t) 所有可能取得一切值的全体称为随机过程的状态空间。,对随机过程 X(t)，t T 进行一次试验 (即在 T上进行一次全程观测)，其结果是 t 的函数，记为x(t)， tT， 称它为随机过程的一个样本函数或样本曲线。,事实上，随机过程有多种描述。,以后，我们常以 X(t)，t 表示随机过程。在不致混淆的情形下，略去参数集 T。,10.2 随机过程的统计描述,10.2.1 随机过程的分布函数族,给定随机过程 X(t), t T ，对每个固定的 t T, 随机变量 X(t)的分布函数记为,称其为随机过程 X(t), t T 的一维分布函数，称Fx(x, t), t T为一维分布函数族。,一般要对任意 n个(n=2, 3, ) 不同时刻t1, t2, , tnT, 引入 n 维随机变量 (X(t1), X(t2), , X(tn), 其联合分布函数记为,FX(x1, x2, , xn; t1, t2,tn), tiT称为随机过程X(t), t T的 n 维分布函数族。,n 取得愈大，则n维分布函数族描述随机过程的特征也愈趋于完善。科尔莫戈罗夫定理指出:,有限维分布函数族 FX(x1, x2, , xn; t1, t2, , tn) n=1, 2, , tiT 完全地确定了随机过程的统计特征。,10.2.2 随机过程的数字特征,给定随机过程 X(t), t T，X(t)是一随机变量，它的均值记为,称 X(t)为随机过程X(t)，t T的均值函数。,通常称这种平均为集平均或统计平均, 以区分第十二章中引入的时间平均概念。,均值函数X(t)表示了随机过程 X(t)在各个时刻的摆动中心，如图10-4所示。,X(t)的二阶原点矩和二阶中心矩分别记作,分别称为随机过程X(t), t T的均方值函数和方差函数。,任意 t1, t2T，X(t1)和X(t2)的二阶混合矩,称为随机过程X(t)，t T的自相关函数，简称相关函数。常简记成RX(t1,t2)。,X(t1)和X(t2)的二阶混合中心矩,称为随机过程X(t), t T的自协方差函数，简称协方差函数。常简记为CX(t1,t2)。,-,随机过程X(t)， t T，如果对于每一个t T，二阶矩EX2(t)都存在，那么称它为二阶矩过程。,二阶矩过程的相关函数总存在。,例1 设A, B是两个相互独立随机变量,且 AN(0,1), BU(0,2)，求随机过程X(t)=At+B的均值函数和自相关函数。,当AN(0,1)时，EA=0，EA2=1；当BU(0,2)时，EB=1，EB2=4/3；又因A、B独立时，有 EAB=EAEB=0。故,解 X(t)的均值函数和自相关函数分别为,泊松过程与维纳过程 Poission Processes & Wiener Processes,给定二阶矩过程X(t), t 0, 称X(t)-X(s), 0st为随机过程在区间(s, t上的增量。,如果对任意正整数n 和任意 0t0 t1 t2 tn, n个增量 X(t1)-X(t0), X(t2)-X(t1), , X(tn)-X(tn-1) 相互独立，则称X(t), t 0为独立增量过程。,X(0)=0 的独立增量过程，有限维分布函数族可以由增量 X(t)-X(s) (0st)的分布所确定。 若对任意的实数 h 和 0 s+ h t+ h, X(t + h)-X(s + h) 与 X(t)-X(s) 具有相同的分布，则称增量具有平稳性。 当增量具有平稳性时，称相应的独立增量过程是齐次的或时齐的。,10.3.1 泊松过程,考虑下列事件： (1). 顾客到达服务台。 (2).学生到达教室。,我们研究的对象将是随时间推移，陆续出现的许多质点所构成的随机现象。 以N(t), t 0表示在时间间隔(0, t内出现的质点数。N(t), t 0是一状态取非负整数、时间连续的随机过程，称为计数过程。,将增量 N(t)-N(t0) 记成 N(t0, t), 0 t0 t, 它表示时间间隔(t0, t内出现的质点数 ，事件N(t0, t) = k的概率记为 Pk(t0, t)=PN(t0, t)=k, k=0, 1, 2, . （3.2),现假设 N(t) 满足如下条件： (1). 在不相重叠的区间上的增量具有独立性； (2). 对于充分小的t, 其中常数 0 称为过程 N(t) 的强度，而 当 时是关于t的高阶无穷小； (3). 对于充分小的t, (4). N(0)=0。,以下首先来求增量的分布律 (3.2)。,我们把满足条件(1) (4)的计数过程N(t), t 0称作强度为 的泊松过程。相应的质点流，即质点出现的随机时刻 t1, t2, 称作强度为 的泊松流。,再来计算Pk(t0, t), k1。根据并事件概率公式和条件(1)，有,将此式适当整理后求导，,又因 N(t0, t0) = 0，故有初始条件,在(3.8)与(3.9)中令k=1, 可解出,增量 N(t0, t) = N(t) - N(t0)的概率分布是参数为 (t-t0) 的泊松分布, 只与时间差 t-t0 有关。泊松过程是一齐次的独立增量过程。,泊松过程的数字特征，,从(3.11)可看到: =EN(t)/t，即泊松过程的强度 (常数)等于单位时间间隔内出现的质点数的期望值。,泊松过程的协方差函数，则可由(3.1), (3.11)式直接推得：,相关函数,设质点(或事件)依次重复出现的时刻 t1, t2, tn, 是一强度为 的泊松流，N(t), t 0为相应的泊松过程。,记 W0=0, Wn= tn, n=1, 2, 。 Wn是一随机变量，表示第n个质点(或事件第n次)出现的等待时间。,为求出Wn的分布函数,得Wn的概率密度为,又记,由N(t)的定义,由增量的独立性,由增量的平稳性,于是，随机变量Ti, ti-1的联合概率密度为,给定二阶矩过程 W(t), t 0，如果它满足 (1). 具有独