线性空间和欧氏空间.ppt

返回主界面,第四章 线性空间和欧氏空间,线性代数与空间解析几何电子教案网络版,说明: 由于PowerPoint软件版本差异, 在您 的电脑上浏览本电子课件可能有些 内容出现会出现异常. 课件作者：王小才,4.1 向量空间 Rn及其子空间,4.2 Rn中的度量与正交变换,4.3 线性空间和线性变换,4.4 欧氏空间和正交变换,第四章 线性空间和欧氏空间,4.1 向量空间 Rn及其子空间,一. 向量空间基和维数,1. n维实(列)向量的全体,Rn = x1, x2, , xnT | R,关于向量(即列矩阵)的加法和数乘运算 满足如下8条基本性质:,关于加法: (1) 交换律; (2) 结合律; (3) ; (4) ,关于数乘: (5) 1 =; (6) k(l) = (kl); (7) (k+l) = k +l; (8) k(+) = k +k.,第四章 线性空间和欧氏空间,4.1 向量空间 Rn及其子空间,2. 设V是Rn的非空子集, 且对向量的加法及数 乘封闭, 即 , V, kR, 有+V, kV 则称V是一个(实)向量空间.,设V是一个向量空间, UV, 若U也构成一个 向量空间, 则称U为V是一个子空间.,仅含有零向量的集合关于向量的线性运 算也构成一个向量空间, 我们称之为零空间.,Rn和称为Rn的平凡子空间.,第四章 线性空间和欧氏空间,4.1 向量空间 Rn及其子空间,3. 设V是一个向量空间, 1, 2, , r是V中一 线性无关向量组, 并且V中任一向量都能由 1, 2, , r 线性表示, 则称(有序)向量组 1, 2, , r 是向量空间V的一组基.,r称为V的维数. 记为维(V)或dim(V).,零空间没有基, 规定dim = 0.,由定义, 对V, 唯一的一组有序实数 k1, k2, , kr使得 = k11+k22+krr .,我们把r维向量k1, k2, , krT 称为 在1, 2, , r 这组基下的坐标.,第四章 线性空间和欧氏空间,4.1 向量空间 Rn及其子空间,例1. Rn的基本向量组,构成Rn的一组基, Rn中的任一向量都能 由这组基线性表示.,且在这组基下的坐标就是本身.,这组基称为Rn的自然基.,第四章 线性空间和欧氏空间,4.1 向量空间 Rn及其子空间,例2. 设ARmn, bRm, b, r(A, b) = r(A) = r,KA = x | Ax = , xRn, SB = x | Ax = b, xRn.,其中KA是向量空间, 称为齐次线性方程组 Ax = 的解空间, Ax = 的一个基础解系 就是KA的一组基, 因此dim(KA) = n r.,但SB不是向量空间. 事实上, SB中不含.,在R3中, 过原点的平面是R3的2维子空间, 过原点的直线是R3的1维子空间, 而不经 过原点的直线与平面都不是向量空间.,第四章 线性空间和欧氏空间,4.1 向量空间 Rn及其子空间,4. 设1, 2, , sRn, 用L(1, 2, , s)表示 1, 2, , s的一切线性组合所成的集合,即 L(1, 2, , s) = k11+k22+kss | k1, k2, , ksR,则L(1, 2, , s)是 (包含1, 2, , s的 向量空间中最小的) 一个向量空间, 我们称 之为由1, 2, , s生成的子空间. 而1, 2, , s称为L(1, 2, , s)生成元.,L(1, 2, , s)的基可以取为1, 2, , s 的任一极大无关组.,第四章 线性空间和欧氏空间,4.1 向量空间 Rn及其子空间,特别地, 设矩阵ARns, A1, A2, , As依次为A s个列向量. 则称L(A1, A2, , As)为矩阵A的列 空间. dim(L(A1, A2, , As) = 秩(A).,因而dim(L(1, 2, , s) = 秩1, 2, , s.,求L(A1, A2, A3, A4)的一组基和维数.,第四章 线性空间和欧氏空间,4.1 向量空间 Rn及其子空间,1 0 1,2 1 0,1 1 1,1 1 1,解:,可见dim L(A1, A2, A3, A4) = 2, A1, A2是L(A1, A2, A3, A4)的一组基.,注: 此外A1, A3也是L(A1, A2, A3, A4)的一组基. 还有A1, A4.,事实上, 对于这个例子, 除了A3, A4以外, A1, A2, A3, A4中任意两个向量都构成 L(A1, A2, A3, A4)的一组基.,第四章 线性空间和欧氏空间,4.1 向量空间 Rn及其子空间,二. Rn上的坐标变换,1. 两组基之间的关系,设1, 2, , n及1, 2, , n都是Rn的 基, j在1, 2, , n下的坐标为 c1j, c2j, , cnjT, j = 1, 2, , n.,j在1, 2, , n下的坐标为 d1j, d2j, , dnjT, j = 1, 2, , n.,记A = 1, 2, , n, B = 1, 2, , n, C = cij, D = dij, 则,A, B可逆, 且B = AC, A = BD.,第四章 线性空间和欧氏空间,4.1 向量空间 Rn及其子空间,A, B可逆, 且B = AC, A = BD.,由此可得A = BD = ACD, 因而CD = I.,我们称C为从基1, 2, , n到基1, 2, , n 的过渡矩阵.,易见C = A1B, D = C1 = B1A.,特别地, 从自然基e1, e2, , en到基1, 2, , n 的过渡矩阵为I 1A = A.,从基1, 2, , n到自然基e1, e2, , en的过渡 矩阵为A1I = A1.,第四章 线性空间和欧氏空间,4.1 向量空间 Rn及其子空间,2. 同一个向量在两组级下的坐标之间的关系,设 在基1, 2, , n下的坐标为x,在基1, 2, , n下的坐标为y, 即 = Ax = By, 因此,y = Dx, x = Cy,上述公式称为坐标变换公式.,特别地, 向量 = x1, x2, , xnT 在基1, 2, , n的坐标为A1 .,第四章 线性空间和欧氏空间,4.1 向量空间 Rn及其子空间,三. Rn上的线性变换,1. 线性映射,设映射f: RnRm保持线性运算, 即满足 , Rn, k1, k2R, f(k1 +k2) = k1 f() + k2 f(),或者, 与之等价地, 保持加法和数乘, 即,则称f为一个线性映射. 从Rn到Rn自身的 线性变换称为Rn的线性变换., Rn, kR, f( +) = f() + f(), f(k) = kf(),第四章 线性空间和欧氏空间,4.1 向量空间 Rn及其子空间,2. 线性映射的矩阵,设ARmn, 则可以定义f: RnRm如下: f() = A, Rn.,可以直接验证f为线性映射.,反之, 给定线性映射f: RnRm, 取Rn的自然 基e1, e2, , en, Rm的自然基1, 2, , m.,设f(e1), f(e2), , f(en)在1, 2, , m下的矩阵 为A, 即 f(e1), f(e2), , f(en) = 1, 2, , mA,则ARmn, 且f() = A, Rn.,第四章 线性空间和欧氏空间,4.1 向量空间 Rn及其子空间,这就是说每个矩阵ARmn对应于一个线性映 射 f: RnRm; 反之, 每个线性映射 f: RnRm 都对应于一个矩阵ARmn.,特别地, 每个方阵ARnn对应于Rn的一 个线性变换 f : RnRn; 反之, Rn的每个线性 变换都对应于一个方阵ARnn.,此时, 线性变换f : RnRn (作为映射)可逆 A可逆.,第四章 线性空间和欧氏空间,4.1 向量空间 Rn及其子空间,3. 设f: RnRm为线性映射, Imf = y = f(x) | xRn, Kerf = xRn | f(x) = .,则Imf和Kerf分别为Rn和Rm的子空间, 我们 称Imf为f的值域, 称Kerf为f的核.,若f() = A, Rn, 其中ARmn, A的列向 量依次为A1, A2, , An. 则Imf = Ax | xRn = L(A1, A2, , An),Kerf = xRn | Ax = , 即Ax = 的解空间.,此时, 也记Imf = R(A), Kerf = K(A).,第四章 线性空间和欧氏空间,4.1 向量空间 Rn及其子空间,于是, dimR(A) = 秩(A), dimK(A) = n秩(A).,由此可得,dimR(A) + dimK(A) = n.,此时, 也记Imf = R(A), Kerf = K(A).,R(A)的基可以取为A1, A2, , An的一个极大无 关组, K(A)的基可以取为Ax = 的一个基础解 系.,求R(A)和K(A)的基和维数.,第四章 线性空间和欧氏空间,4.2 Rn中的度量与正交变换,4.2 Rn中的度量与正交变换,一. Rn中向量的内积, 长度和夹角,1. 设 =a1, a2, , anT, =b1, b2, , bnT,记为, , 即,2. 内积的基本性质,对称性: , = , ; 线性性: k11+k22, = k11, +k22,; , 0; 且, = 0 = .,第四章 线性空间和欧氏空间,4.2 Rn中的度量与正交变换,5. 长度为1的向量称为单位向量.,3. 对于n维实向量, 称, ,为 的长度或,模, 记为|, 即,对于非零向量, |1是一个单位向量. 用 |1乘称为把单位化或标准化.,4. 长度的基本性质,正定性: | 0; 且| = 0 = ; 齐次性: |k| = |k| (kR); Cauchy不等式: |, | |.,第四章 线性空间和欧氏空间,4.2 Rn中的度量与正交变换,6. 设, Rn, 若 , , 则定义, 的夹角,若, = 0, 即 = /2, 则称与正交.,为,例5. 设, Rn, 且与线性无关, 求常数k使, +k与正交.,第四章 线性空间和欧氏空间,4.2 Rn中的度量与正交变换,二. 标准正交基和施密特(Schmidt)方法,1. 一组两两正交的向量组称为正交向量组.,由单位向量组成的正交向量组称为标准 正交向量组.,向量空间的一组基如果是正交向量组, 就 称之为正交基; 如果是标准正交向量组, 就称之为标准正交基.,定理4.1. 设1, 2, , s是正交向量组, 则1, 2, , s线性无关.,第四章 线性空间和欧氏空间,4.2 Rn中的度量与正交变换,命题. 设1, 2, , s是标准正交向量组, 且 = k11+k22+kss, 则ki = , i, i = 1, 2, , s.,2. 施密特(Schmidt)方法,定理4.2. 设1, 2, , s线性无关(s2), 则存 在一个正交向量组1, 2, , s满足 1, 2, , t与1, 2, , t等价(1 t s).,第四章 线性空间和欧氏空间,4.2 Rn中的度量与正交变换,1 = 1, ,正交化过程如下:,再将1, 2, , s单位化得:,施密特方法,第四章 线性空间和欧氏空间,4.2 Rn中的度量与正交变换,三. 正交矩阵和正交变换,1. 满足QTQ = I (即Q1 = QT)的实方阵Q称,为正交矩阵, 简称为正交阵.,定理4.3. 设Q为n阶实方阵, 则Q是正交矩阵 的充分必要条件是Q的列向量组构 成Rn的一组标准正交基.,推论. 设Q为n阶实方阵, 则Q是正交矩阵 QT是正交矩阵 Q的行向量组转置 后构成成Rn的一组标准正交基.,第四章 线性空间和欧氏空间,4.2 Rn中的度量与正交变换,2. 若Q为n阶正交矩阵, 则线性变换y = Qx称为,Rn的正交变换.,定理4.4. Rn的正交变换y = Qx不改变向量的 内积, 因而也不改变向量的长度和夹角.,3. 由定义可见正交矩阵Q的行列式|Q| =1或1, 若|Q| =1, 则对应的正交变换称为第一类的; 若|Q|=1, 则对应的正交变换称为第二类的.,当Q为3阶正交矩阵时, 注意到Qi, Qj, Qk依 然正交, 且它们的混合积(Qi, Qj, Qk) = |Q|, 因此|Q| =1 (1)时, Qi, Qj, Qk成右(左)手系.,第四章 线性空间和欧氏空间,4.2 Rn中的度量与正交变换,例6. 验证Q =,解: QTQ =,cos sin,是正交矩阵, 并,sin cos,计算非零向量 = a, bT与Q的夹角, 其中0 2.,因此Q是正交矩阵.,= I.,第四章 线性空间和欧氏空间,4.2 Rn中的度量与正交变换,例6. 验证Q =,解: Q =,cos sin,是正交矩阵, 并,sin cos,计算非零向量 = a, bT与Q的夹角, 其中0 2.,cos = , Q/(|Q|) = cos., Q = (a2+b2)cos,因而 = .,第四章 线性空间和欧氏空间,4.2 Rn中的度量与正交变换,O,y,x,对应的正交变换,第四章 线性空间和欧氏空间,4.3 线性空间和线性变换,4.3 线性空间和线性变换,第四章 线性空间和欧氏空间,4.3 线性空间和线性变换,第四章 线性空间和欧氏空间,4.4 欧氏空间和正交变换,4.4 欧氏空间