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2019年7月20日9时16分,1,一、利用柱面坐标计算三重积分,规定：,2019年7月20日9时16分,2,柱面坐标与直角坐标的关系为,如图，三坐标面分别为,圆柱面；,半平面；,平 面,2019年7月20日9时16分,3,如图，柱面坐标系中的体积元素为,2019年7月20日9时16分,4,解,知交线为,2019年7月20日9时16分,5,2019年7月20日9时16分,6,解,所围成的立体如图，,2019年7月20日9时16分,7,所围成立体的投影区域如图，,2019年7月20日9时16分,8,2019年7月20日9时16分,9,二、利用球面坐标计算三重积分,2019年7月20日9时16分,10,规定：,如图，三坐标面分别为,圆锥面；,球 面；,半平面,2019年7月20日9时16分,11,球面坐标与直角坐标的关系为,如图，,2019年7月20日9时16分,12,球面坐标系中的体积元素为,如图，,2019年7月20日9时16分,13,2019年7月20日9时16分,14,2019年7月20日9时16分,15,2019年7月20日9时16分,16,解,2019年7月20日9时16分,17,2019年7月20日9时16分,18,补充：利用对称性化简三重积分计算,使用对称性时应注意：,、积分区域关于坐标面的对称性；,、被积函数在积分区域上的关于三个坐标轴的,奇偶性,2019年7月20日9时16分,19,解,积分域关于三个坐标面都对称，,被积函数是 的奇函数,2019年7月20日9时16分,20,解,2019年7月20日9时16分,21,2019年7月20日9时16分,22,2019年7月20日9时16分,23,（1） 柱面坐标的体积元素,（2） 球面坐标的体积元素,（3） 对称性简化运算,三重积分换元
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