高考数学第3章三角函数、解三角形第5节三角恒等变换教学案（含解析）.docx

第五节三角恒等变换考纲传真1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式.2.会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式3会用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系4能运用上述公式进行简单的三角恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但不要求记忆)1两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)sin()sin_cos_cos_sin_；(2)cos()cos_cos_sin_sin_；(3)tan().2二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin 22sin cos ；(2)cos 2cos2sin22cos2112sin2；(3)tan 2.1公式T()的变形：(1)tan tan tan()(1tan tan )；(2)tan tan tan()(1tan tan )2公式C2的变形：(1)sin2(1cos 2)；(2)cos2(1cos 2)3公式逆用：(1)sincos；(2)sincos；(3)sincos.4辅助角公式asin bcos sin()(其中tan )，特别的sin cos sin；sin cos 2sin；sin cos 2sin.基础自测1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)存在实数，使等式sin()sin sin 成立( )(2)在锐角ABC中，sin Asin B和cos Acos B的大小关系不确定( )(3)公式tan()可以变形为tan tan tan()(1tan tan )，且对任意角，都成立( )(4)函数y3sin x4cos x的最大值为7.( )答案(1)(2)(3)(4)2(教材改编)sin 20cos 10cos 160sin 10( )A B. C D.Dsin 20cos 10cos 160sin 10sin 20cos 10cos 20sin 10sin(2010)sin 30，故选D.3(教材改编)已知cos ，是第三象限角，则cos的值为( )A. B C. DA由cos ，是第三象限角知sin ，则coscoscos sinsin .故选A.4已知sin()，则cos 2_.由sin()，得sin ，则cos 212sin2122.5(教材改编)_.tan 30. 三角函数式的化简1已知sincos，则tan ( )A1 B0 C. D1A因为sincos，所以cos sin cos sin .所以cos sin .所以tan 1，故选A.2计算的值为( )A B. C. DB.3已知，且sin cos ，则( )A. B. C. D.D由sin cos 得sin，因为，所以0，所以cos.2cos.4已知0，则_.cos 原式.因为0，所以0，所以cos 0.所以原式cos .规律方法1.三角函数式的化简要遵循“三看”原则2三角函数式化简的方法弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂在三角函数式的化简中“次降角升”和“次升角降”是基本的规律，根号中含有三角函数式时，一般需要升次三角函数式的求值考法1给值求值【例1】(1)(2018全国卷)若sin ，则cos 2( )A. B. C D(2)(2019太原模拟)已知角是锐角，若sin，则cos等于( )A. B.C. D.(3)若，是锐角，且sin sin ，cos cos ，则tan()_.(1)B(2)A(3)(1)cos 212sin2122.故选B.(2)由0得又sin，coscoscoscoscossinsin，故选A.(3)因为sin sin ，cos cos ，两式平方相加得：22cos cos 2sin sin ，即22cos()，所以cos()，因为、是锐角，且sin sin 0，所以0.所以0.所以sin().所以tan().考法2给角求值【例2】(1)tan 20tan 40tan 20tan 40_.(2)sin 50(1tan 10)_.(1)(2)1(1)由tan(2040)得tan 20tan 40(1tan 20tan 40)原式(1tan 20tan 40)tan 20tan 40.(2)sin 50(1tan 10)sin 50sin 50sin 501.考法3给值求角【例3】(1)若sin 2，sin()，且，则的值是( )A. B.C.或 D.或(2)已知，(0，)，且tan()，tan ，则2的值为_(1)A(2)(1)，2.又sin 20，2，cos 2且.又，.sin()0，cos()且，cos()cos2()cos 2cos()sin 2sin().2，故选A.(2)因为tan tan()0，所以0，又因为tan 20，所以02，所以tan(2)1.因为tan 0，所以，20，所以2.规律方法三角函数求值的三种情况(1)“给角求值”中一般所给出的角都是非特殊角，应仔细观察非特殊角与特殊角之间的关系，结合公式将非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数求解.(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系.(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，最后确定角. (1)若0，0，cos，cos，则cos( )A. B C. D(2)_.(3)(2019长春模拟)已知sin ，sin()，均为锐角，则角值是_(1)A(2)(3)(1)由0得，又cos，sin，由0得.又cos，sin.coscoscoscossinsin.(2)原式.(3)，均为锐角，.又sin()，cos().又sin ，cos ，sin sin()sin cos()cos sin().三角恒等变换的综合应用【例4】(2019合肥模拟)已知函数f(x)sin2xsin2，xR.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值解(1)由已知得f(x)cos 2xsin 2xcos 2xsin.所以f(x)的最小正周期T.(2)由(1)知f(x)sin.x，2x，当2x，即x时，f(x)有最小值，且f，当2x，即x时，f(x)有最大值，且f.所以f(x)在区间上的最大值为，最小值为.规律方法三角恒等变换在三角函数图象和性质中的应用,解决此类问题可先根据和角公式、倍角公式把函数表达式变为正弦型函数yAsin(x)t或余弦型函数yAcos(x)t的形式，再利用三角函数的图象与性质求解. (2019温州模拟)已知函数f(x)sin xcos xcos2x.(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)若0，f()，求sin 2的值解(1)函数f(x)sin xcos xcos2xsin 2xsin，函数f(x)的最小正周期为.(2)若0，则2，f()sin，sin，2，cos，sin 2sinsincos cossin .1(2017全国卷)函数f(x)sinxcos的最大值为( )A. B1 C. D.A法一：f(x)sincoscos xsin xsin xcos xcos xsin xsin xcos xsin，当x2k(kZ)时，f(x)取得最大值.故选A.法二：，f(x)sincossincossinsinsin.f(x)max，故选A.2(2016全国卷)若cos，则sin 2( )A. B.C DD因为cos，所以sin 2coscos 22cos2121.3(2018全国卷)已知角的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两点A(1，a)，B(2，b)，且cos 2，则|ab|( )A. B.C. D1B由题意知cos 0.因为cos 22cos21，所以cos ，sin ，得|tan |.由题意知|tan |，所