高考数学导数及其应用（选修1_1）第11节导数在研究函数中的应用（第2课时）导数与函数的极值、最值习题.docx

第二课时导数与函数的极值、最值【选题明细表】知识点、方法题号利用导数研究函数的极值2,3,5,6,9,11利用导数研究函数的最值1,4,7,8利用导数研究函数的极值与最值综合问题13,14利用导数研究优化问题10,12基础巩固(时间:30分钟)1.函数f(x)=ln x-x在区间(0,e上的最大值为(B)(A)1-e(B)-1 (C)-e (D)0解析:因为f(x)=-1=,当x(0,1)时,f(x)0;当x(1,e时,f(x)0,令g(x)=6x2-2x+1=0,则=-200恒成立,故f(x)0恒成立,即f(x)在定义域上单调递增,无极值点.4.(2018银川模拟)已知y=f(x)是奇函数,当x(0,2)时,f(x)=ln x-ax(a),当x(-2,0)时,f(x)的最小值为1,则a的值等于(D)(A)4(B)3(C)2(D)1解析:由题意知,当x(0,2)时,f(x)的最大值为-1.令f(x)=-a=0,得x=,当0x0;当x时,f(x)0.所以f(x)max=f()=-ln a-1=-1,解得a=1.5.(2017赤峰二模)设函数f(x)在R上可导,其导函数为f(x),且函数y=(1-x)f(x)的图象如图所示,则下列结论中一定成立的是(D)(A)函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)(B)函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(1)(C)函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(-2)(D)函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(2)解析:由题图可知,当x0;当-2x1时,f(x)0;当1x2时,f(x)2时,f(x)0.由此可以得到函数f(x)在x=-2处取得极大值,在x=2处取得极小值.故选D.6.设x1,x2是函数f(x)=x3-2ax2+a2x的两个极值点,若x12x2,则实数a的取值范围是.解析:由题意得f(x)=3x2-4ax+a2的两个零点x1,x2满足x12x2.所以f(2)=12-8a+a20,解得2a0时,f(x)=-1,f(x)=,所以当x(0,1)时,f(x)1时,f(x)0,函数f(x)单调递增.所以x=1时,f(x)取到极小值e-1,即f(x)的最小值为e-1.又f(x)为奇函数,且x0时,f(x)=h(x),所以h(x)的最大值为-(e-1)=1-e.答案:1-e8.(2018武汉模拟)若函数f(x)=2x2-ln x在其定义域的一个子区间(k-1,k+1)内存在最小值,则实数k的取值范围是.解析:因为f(x)的定义域为(0,+),f(x)=4x-,所以由f(x)=0解得x=,由题意得解得1k0,当t(2,8)时,V(t)0,从而V(t)在(0,2)上单调递增,在(2,8)上单调递减,V(0)=8 640,V(8)=3 520,所以当t=8时,V(t)有最小值3 520,此时金箍棒的底面半径为4 cm.答案:411.(2018天津卷节选)设函数f(x)=(x-t1)(x-t2)(x-t3),其中t1,t2,t3R,且t1,t2,t3是公差为d的等差数列.(1)若t2=0,d=1,求曲线y=f(x)在点(0,f(0)处的切线方程;(2)若d=3,求f(x)的极值.解:(1)由已知,得f(x)=x(x-1)(x+1)=x3-x,故f(x)=3x2-1,因此f(0)=0,f(0)=-1.又因为曲线y=f(x)在点(0, f(0)处的切线方程为y-f(0)= f(0)(x-0),故所求切线方程为x+y=0.(2)由已知可得f(x)=(x-t2+3)(x-t2)(x-t2-3)=(x-t2)3-9(x-t2)=x3-3t2x2+(3-9)x-+9t2.故f(x)= 3x2-6t2x+3-9.令f(x)=0,解得x= t2-或x= t2+.当x变化时,f(x),f(x)的变化情况如表:x(-,t2-)t2-(t2-,t2+)t2+(t2+,+)f(x)+0-0+f(x)极大值极小值所以函数f(x)的极大值为f(t2-)=(-)3-9(-)=6,函数f(x)的极小值为f(t2+)=()3-9=-6.12.某商场销售某种商品的经验表明,该商品每日的销售量y(单位:千克)与销售价格x(单位:元/千克)满足关系式y=+10(x-6)2,其中3x6,a为常数.已知销售价格为5元/千克时,每日可售出该商品11千克.(1)求a的值;(2)若该商品的成本为3元/千克,试确定销售价格x的值,使商场每日销售该商品所获得的利润最大.解:(1)因为x=5时,y=11,所以+10=11,a=2.(2)由(1)可知,该商品每日的销售量为y=+10(x-6)2,所以商场每日销售该商品所获得的利润为f(x)=(x-3)+10(x-6)2=2+10(x-3)(x-6)2,3x6.从而,f(x)=10(x-6)2+2(x-3)(x-6)=30(x-4)(x-6),于是,当x变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表:x(3,4)4(4,6)f(x)+0-f(x)单调递增极大值42单调递减由上表可得,x=4时,函数f(x)取得极大值,也是最大值,所以,当x=4时,函数f(x)取得最大值,且最大值等于42.故当销售价格为4元/千克时,商场每日销售该商品所获得的利润最大.13.(2018衡水中学月考)已知函数f(x)=ax-1-ln x(aR).(1)讨论函数f(x)在定义域内的极值点的个数;(2)若函数f(x)在x=1处取得极值,x(0,+),f(x)bx-2恒成立,求实数b的最大值.解:(1)f(x)的定义域为(0,+),f(x)=a-=.当a0时,f(x)0时,由f(x)0,得0x0,得x,所以f(x)在(0,)上单调递减,在(,+)上单调递增,故f(x)在x=处有极小值.综上,当a0时,f(x)在(0,+)上没有极值点;当a0时,f(x)在(0,+)上有一个极值点.(2)因为函数f(x)在x=1处取得极值,所以f(1)=a-1=0,则a=1,从而f(x)=x-1-ln x.因此f(x)bx-21+-b,令g(x)=1+-,则g(x)=,令g(x)=0,得x=e2,则g(x)在(0,e2)上单调递减,在(e2,+)上单调递增,所以g(x)min=g(e2)=1-,即b1-.故实数b的最大值是1-.14.已知函数f(x)=(a0)的导函数y=f(x)的两个零点为-3和0.(1)求f(x)的单调区间;(2)若f(x)的极小值为-e3,求f(x)在区间-5,+)上的最大值.解:(1)f(x)=.令g(x)=-ax2+(2a-b)x+b-c