高考数学第3章三角函数、解三角形第7节解三角形的实际应用举例教学案文（含解析）北师大版.docx

第七节解三角形的实际应用举例考纲传真能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题测量中的有关几个术语术语名称术语意义图形表示仰角与俯角在目标视线与水平视线所成的角中，目标视线在水平视线上方的叫做仰角，目标视线在水平视线下方的叫做俯角方位角从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的夹角叫做方位角方位角的范围是0360方向角相对于某正方向的水平角，如北偏东，即由正北方向顺时针旋转到达目标方向，南偏西，即由正南方向顺时针旋转到达目标方向，其他方向角类似例：(1)北偏东：(2)南偏西：基础自测1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)从A处望B处的仰角为，从B处望A处的俯角为，则，的关系为180()(2)俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为()(3)方位角的大小范围是0,2)，方向角的大小范围一般是()(4)若点P在点Q的北偏东44，则点Q在点P的东偏北46()答案(1)(2)(3)(4)2(教材改编)海面上有A，B，C三个灯塔，AB10 n mile，从A望C和B成60视角，从B望C和A成75视角，则BC等于()A10 n mileB n mileC5 n mileD5 n mileD如图，在ABC中，AB10，A60，B75，C45，BC5.3若点A在点C的北偏东30，点B在点C的南偏东60，且ACBC，则点A在点B的()A北偏东15B北偏西15C北偏东10D北偏西10B如图所示，ACB90，又ACBC，CBA45，而30，90453015，点A在点B的北偏西15.4如图所示，要测量底部不能到达的电视塔的高度，选择甲、乙两观测点在甲、乙两点测得塔顶的仰角分别为45，30，在水平面上测得电视塔与甲地连线及甲、乙两地连线所成的角为120，甲、乙两地相距500 m，则电视塔的高度是()A100 mB400 mC200 mD500 mD设塔高为x m，则由已知可得BCx m，BDx m，由余弦定理可得BD2BC2CD22BCCDcos BCD，即3x2x25002500x，解得x500(m)5如图所示，已知A，B两点分别在河的两岸，某测量者在点A所在的河岸边另选定一点C，测得AC50 m，ACB45，CAB105，则A，B两点的距离为()A50 mB25 mC25 mD50 mD因为ACB45，CAB105，所以B30.由正弦定理可知，即，解得AB50 m测量距离问题1如图所示，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为67，30，此时气球的高是46 m，则河流的宽度BC约等于_m(用四舍五入法将结果精确到个位参考数据：sin 670.92，cos 670.39，sin 370.60，cos 370.80，1.73)60如图所示，过A作ADCB且交CB的延长线于D在RtADC中，由AD46 m，ACB30得AC92 m.在ABC中，BAC673037，ABC18067113，AC92 m，由正弦定理，得，即，解得BC60(m)2江岸边有一炮台高30 m，江中有两条船，船与炮台底部在同一水平面上，由炮台顶部测得俯角分别为45和60，而且两条船与炮台底部连线成30角，则两条船相距_m.10如图，OMAOtan 4530(m)，ONAOtan 303010(m)，在MON中，由余弦定理得，MN10(m)3如图，一艘船上午9：30在A处测得灯塔S在它的北偏东30的方向，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午10：00到达B处，此时又测得灯塔S在它的北偏东75的方向，且与它相距8 n mile.此船的航速是_n mile/h.32在ABS中，BAS30，ASB753045，由正弦定理得，则AB16，故此船的船速是32 n mile/h.4如图，A，B两点在河的同侧，且A，B两点均不可到达，要测出A，B的距离，测量者可以在河岸边选定两点C，D，测得CDa，同时在C，D两点分别测得BCA，ACD，CDB，BDA.在ADC和BDC中，由正弦定理分别计算出AC和BC，再在ABC中，应用余弦定理计算出AB若测得CDkm，ADBCDB30，ACD60，ACB45，则A，B两点间的距离为_km.ADCADBCDB60，ACD60，DAC60，ACDC(km)在BCD中，DBC45，由正弦定理，得BCsinBDCsin 30.在ABC中，由余弦定理，得AB2AC2BC22ACBCcos 452.AB(km)A，B两点间的距离为 km.规律方法求距离问题的两个策略(1)选定或确定要创建的三角形，首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接求解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解(2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理测量高度问题【例1】(2019黄山模拟)如图所示，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30的方向上，行驶600 m后到达B处，测得此山顶在西偏北75的方向上，仰角为30，则此山的高度CD_m.100由题意，在ABC中，BAC30，ABC18075105，故ACB45.又AB600 m，故由正弦定理得，解得BC300 m.在RtBCD中，CDBCtan 30300100(m)规律方法求解高度问题的3个注意点(1)在处理有关高度问题时，要理解仰角、俯角(它是在铅垂面上所成的角)、方向(位)角(它是在水平面上所成的角)是关键(2)在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易搞错(3)注意山或塔垂直于地面或海平面，把空间问题转化为平面问题 如图，从某电视塔CO的正东方向的A处，测得塔顶的仰角为60，在电视塔的南偏西60的B处测得塔顶的仰角为45，AB间的距离为35米，则这个电视塔的高度为_米5如图，可知CAO60，AOB150，OBC45，AB35米设OCx米，则OAx米，OBx米在ABO中，由余弦定理，得AB2OA2OB22OAOBcos AOB，即352x2x2cos 150，整理得x5，所以此电视塔的高度是5米测量角度问题【例2】某渔船在航行中不幸遇险，发出呼救信号，我海军舰艇在A处获悉后，立即测出该渔船在方位角为45，距离A为10海里的C处，并测得渔船正沿方位角为105的方向，以10海里/时的速度向小岛B靠拢，我海军舰艇立即以10海里/时的速度前去营救，求舰艇的航向和靠近渔船所需的时间解如图所示，设所需时间为t小时，则AB10t，CB10t，在ABC中，根据余弦定理，则有AB2AC2BC22ACBCcos 120，可得(10t)2102(10t)221010tcos 120.整理得2t2t10，解得t1或t(舍去)，舰艇需1小时靠近渔船，此时AB10，BC10.在ABC中，由正弦定理得，sinCAB.CAB30.所以舰艇航向为北偏东75.规律方法解决测量角度问题的注意事项(1)应明确方位角或方向角的含义(2)分析题意，分清已知与所求，再根据题意画出正确的示意图，这是最关键、最重要的一步(3)将实际问题转化为解三角形的问题后，注意正弦、余弦定理的“联袂”使用 如图，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救信息中心立即把消息告知在其南偏西30，相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东的方向沿直线CB前往B处救援，求cos 的值解在ABC中，AB40，AC20，BAC120，由余弦定理得，BC2AB2AC22ABACcos 1202 800BC20.由正弦定理，得sinACBsinBAC.由BAC120，知ACB为锐角，则cosACB.由ACB30，得cos cos(ACB30)cosACB cos 30sinACB sin 30.(二)三角函数与解三角形中的高考热点问题命题解读从近五年全国卷高考试题来看，解答题第1题(全国卷T17)交替考查三角函数、解三角形与数列，本专题的热点题型有：一是三角函数的图像与性质；二是解三角形；三是三角恒等变换与解三角形的综合问题，中档难度，在解题过程中应挖掘题目的隐含条件，注意公式的内在联系，灵活地正用、逆用及变形公式，并注重转化思想与数形结合思想的应用三角函数的图像与性质要进行五点法作图、图像变换，研究三角函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性，求三角函数的单调区间、最值等，都应先进行三角恒等变换，将其化为yAsin(x)的形式，然后利用整体代换的方法求解【例1】(2017浙江高考)已知函数f(x)sin2xcos2x2sin xcos x(xR)(1)求f 的值；(2)求f(x)的最小正周期及递增区间解(1)由sin，cos，得f 2，所以f 2.(2)由cos 2xcos2xsin2x与sin 2x2sin xcos x得f(x)cos 2xsin 2x2sin，所以f(x)的最小正周期是.由正弦函数的性质得2k2x2k，kZ，解得kxk，kZ，所以f(x)的递增区间是(kZ)规律方法求函数的单调区间，应先通过三角恒等变换把函数化为yAsin(x)的形式，再把“x”视为一个整体，结合函数ysin x的单调性找到“x”对应的条件，通过解不等式可得单调区间 (2019北京海淀模拟)已知函数f(x)sin 2xcoscos 2xsin.(1)求函数f(x)的最小正周期和对称轴方程；(2)求函数f(x)在上的最大值解(1)f(x)sin 2xcoscos 2xsinsin2x，所以f(x)的最小正周期T，因为ysin x的对称轴方程为xk，kZ，令2xk，kZ，得xk，kZ，f(x)的对称轴方程为xk，kZ.(2)因为x，所以2x0，所以2x，所以当2x，即x时，f(x)在上的最大值为1.解三角形从近几年全国卷来看，高考命题强化了解三角形的考查力度，着重考查正弦定理、余弦定理的综合应用，求解的关键是边角互化，结合三角恒等变换进行化简与求值【例2】(本小题满分12分)(2017全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知ABC的面积为.(1)求sin Bsin C；(2)若6cos Bcos C1，a3，求ABC的周长信息提取看到条件ABC的面积，想到三角形面积公式；看到(2)中6cos Bcos C1和(1)的结论，想到两角和的余弦公式，可求角A，进而利用面积公式和余弦定理求bc.规范解答(1)由题设得acsin B，即csin B.2分由正弦定理得sin Csin B.故sin Bsin C.5分(2)由题设及(1)得cos Bcos Csin Bsin C，即cos(BC).所以BC，故A.7分由题设得bcsin A，a3，所以bc8.9分由余弦定理得b2c2bc9，即(bc)23bc9.由bc8，得bc.11分故ABC的周长为3.12分易错与防范易错误区：(1)三角形面积公式选用不当，导致无法求解第(1)问(2)根据6cos Bcos C1和sin Bsin C，联想不到使用公式cos(BC)cos Bcos Csin Bsin C导致无法求解第(2)问防范措施：(1)在选用面积公式时，应保证消去sin A，故应选择公式SABCabsin C或SABCacsin B(2)对于两角和与差的正弦、余弦和正切公式应加强逆用的应用意识，根据公式的结构特征恰当选择公式通性通法解三角形问题要关注正弦定理、余弦定理、三角形内角和定理、三角形面积公式，要适时、适度进行“角化边”或“边化角”，要抓住能用某个定理的信息一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则两个定理都有可能用到 (2019莆田模拟)已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且ctan C(acos Bbcos A)(1)求角C；(2)若c2，求ABC面积的最大值解(1)ctan C(acos Bbcos A)，sin Ctan C(sin Acos Bsin Bcos A)，sin Ctan Csin(AB)sin C，0C，sin C0，tan C，C60.(2)c2，C60，由余弦定理c2a2b22abcos C，得12a2b2ab2abab，ab12，当且仅当ab2时，等号成立SABCabsin C3.ABC面积的最大值为3.三角恒等变换与解三角形的综合问题以三角形为载体，三角恒等变换与解三角形交汇命题，是近几年高考试题的一大亮点，主要考查和、差、倍角公式以及正、余弦定理的综合应用，求解的关键是根据题目提供的信息，恰当地实施边角互化【例3】在ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且cos(CB)cos(CB)cos2Asin Csin B(1)求A；(2)若a3，求b2c的最大值解(1)cos(CB)cos(CB)cos2Asin Csin Bcos2(CB)sin Csin B，则cos(CB)cos(CB)cos(CB)sin Csin B，则cos A2sin Csin Bsin Csin B，可得cos A，0A，A60.(2)由2，得b2c2(sin B2sin C)2sin B2sin(120B)2(2sin Bcos B)2sin(B)，其中tan ，.由B，得B，sin(B)的最大值为1，b2c的最大值为2.规律方法1.以三角形为载体，实质考查三角形中的边角转化，求解的关键是抓住边角间的关系，恰当选择正、余弦定理2解三角形常与三角变换交汇在一起(以解三角形的某一结论作为条件)，此时应首先确定三角形的边角关系，然后灵活运用三角函数的和、差、倍角公式化简转化 (2019石家庄模拟)已知ABC的内角A，B，C的对边长分别为a，b，c，且tan Atan B(1)求角A的大小；(2)设D为AC边上一点，且BD5，DC3，a7，求c.解(1)在ABC中，tan Atan B，即，则tan A，又0A，A.(2)由BD5，DC3，a7，得cosBDC，又0BDC，BDC.又A，ABD为等边三角形，c5.大题增分专训1(2019泰安模拟)设f(x)2sin(x)sin x(sin xcos x)2.(1)求f(x)的递增区间；(2)把yf(x)的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把得到的图像向左平移个单位，得到函数yg(x)的图像，求g的值解(1)f(x)2sin(x)sin x(sin xcos x)22sin2x(12sin xcos x)(1cos 2x)sin 2x1sin 2xcos 2x12sin1，由2k2x2k(kZ)，得kxk(kZ)，所以f(x)的递增区间是(kZ)(2)由(1)知f(x)2sin1，把yf(x)的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y2sin1的图像，再把得到的图像向左