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9.4 复合函数微分法,教学要求：掌握各种复合情况下的多元复合函数求导法则,证,一、链式法则,由P 66 页第10行的公式,上定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况.,如,以上公式中的导数 称为全导数.,例1 设,解,ex1：设,求,解：,z,y,x,t,上定理还可推广到中间变量不是一元函数而是多元函数的情况：,链式法则如图示,例2 设,ex2：求 的偏导数。,解：令,则有,例3 设,Ex3:设函数 具有二阶连续偏导数,且满 足 ,证明:函数,解,令,于是,多元复合函数的求导法则称为链式法则.,随中间变量的增减,链式法则形式上会发生变化,但实质不变.如:,1 中间变量增加,2 中间变量只有一个,此时,注意记号,3 中间变量和自变量并列的情况,此时,注意记号,例4 求,解,Ex5：设,求,解,例6,设,求,解,例7：设,求,解：,二、全微分形式不变式,以二元函数为例,设,是可微函数,则由全微分定义和链式法则,有,由此可见,但全,上完全一致.,这个性质称为全微分形式不变性。,适当应用这个性质,会收到很好的效果.,在形式,例8,利用一阶全微分形式的不变性求函数,的偏导数.,解,例8,利用一阶全微分形式的不变性求函数,的偏导数.,解,所以,解,例9,求,已知,和,Ex6:设函数 其中函数 都可微,求,作业：习题9-4: 2, 6(1)
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