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第一章 变分法的基本问题,泛函的概念,通常函数：从实数到实数的映射。,泛函：从路径（曲线）到实数的映射。,目标泛函的概念,连续时间路径上识别一条弧，需要三样信息：,无限小的一条弧,（1）开始时间,（2）开始状态,（3）弧的前进方向,存在某个函数F，将弧值赋予弧，即从无限小的弧(曲线)到弧值(实数)的影射，表示为：,目标泛函就是弧值之和：,例：垄断企业的利润函数,垄断企业的动态需求函数：,垄断企业的总收益函数：,垄断企业的总成本函数：,垄断企业的总利润函数：,加总T期的总利润函数，得到目标泛函：,如果收益函数或成本函数随时间变化，目标泛函：,第一节 欧拉方程,变分法的基本问题,最大化或最小化,一、欧拉方程的推导,固定初始点和固定终结点 ，函数V表示为：,变为：,一、欧拉方程的推导,（2.14）,步骤1 首先用 来表示V，并求导：,我们得到极值曲线的必要条件的更具体的形式：,莱布尼兹法则：,对于函数,步骤2,和,把这些表达式代入（2.15），其中a=0，b=T。我们得到：,以上推导得到：,步骤3 由于 是任意的，因此可以得到：,对于所有,或,对于所有,（2.17),以上推导得到：,对推导得到的 进行整理：,步骤4 因为F是一个具有三个自变量 的函数 所以偏导数 也是具有三个同样自变量的函数。,把它代入(2.18)式，即 ，得：,以上推导得到欧拉方程：,具有边界条件：,例1 求下列泛函的极值曲线。,根据欧拉方程 ，可得：,根据直接积分，得,因此，极值曲线为：,具有边界条件：,例2 求下列泛函的极值曲线。,根据欧拉方程 ，可得：,根据直接积分，得,根据水平终结线的横截条件：,代入水平终结线横截条件。,和,（在t=T处）,一、多个状态变量的情况,第二节 欧拉方程的推广,个变量的欧拉方程组为：,对于所有,这几个方程与边界条件一起,可以确定解,二、高阶导数的情况,那么高阶导数泛函可以转化为多个状态变量的泛函:,可以转化为含有 个状态变量及其一阶导数的一个等价函数：,一、社会损失函数,第三节 通货膨胀和失业之间的折衷,与 的关系用附加预期的菲利普斯曲线来表示：,预期通胀率 的形成被假定为自适应的：,其中， 表示预期通货膨胀率。,其中， 为实际收入， 为理想实际收入， 为实际通货膨胀率。,社会损失函数为：,由（2.40)式和(2.41)式，得：,重新整理，得：,（2.42)式代入(2.40)式，得：,（2.42)和(2.43)式代入(2.39)式，得社会损失函数：,二、问题,三、解路径,满足,二阶导数：,和,被积函数为：,F的一阶导数：,公式（2.19）给出了具体的必要条件：,其中,由于这个方程是齐次的，它的特解是
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