函数的单调性与最大(小)值(五).ppt

函数的最大(小)值,夏建岭,1.理解函数最大(小)值及其几何意义. 2.能利用函数的图象求最大(小)值. 3.会求简单函数在闭区间上的最大(小)值.,学习目标：,1.一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足:(1)_,(2)_.那么我们称M是函数y=f(x)的最大值. 2.仿照函数最大值的定义,请你给出函数y=f(x)最小值的定义.,答 案1.对于任意的xI,都有f(x)M 存在x0I,使得f(x0)=M2.设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足: (1)对于任意的xI,都有f(x)M. (2)存在x0I使得f(x0)=M. 那么,我们称M为函数y=f(x)的最小值.,2.函数的最值与值域 (1)函数的最大值和最小值统称为函数的最值. (2)函数y=f(x)的最值是函数图象最高点与最低点的纵坐标. (3)一个函数一定存在值域,但不一定存在最值(当值域是开区间时),最值是值域为闭区间时的端点值.,3.函数的最值与单调性的关系 (1)若函数y=f(x)在闭区间上是增函数,则f(x)在上有最大值f(b),最小值f(a); (2)若函数y=f(x)在闭区间上是减函数,则f(x)在上有最大值f(a),最小值f(b).,题型一 利用函数图象求最值 例1:求函数f(x)=x2-6x+5在区间-1,5上的最值.,分析:f(x)=x2-6x+5=(x-3)2-4,作出函数f(x)的图象,利用最值的几何意义求出最值.,解:f(x)=(x-3)2-4,其图象如下图所示.,由图象知,3-1,5,当x=3时,f(x)有最小值f(3)=-4.又f(-1)=(-1-3)2-4=12,而f(5)=(5-3)2-4=0, 当x=-1时,f(x)有最大值f(-1)=12. 综上知,函数f(x)在区间-1,5上的最大值为12,最小值为-4.,规律技巧:求二次函数在闭区间上的最值,若区间在对称轴同一侧,则f(a),f(b)就是最值;若对称轴在区间内,则抛物线的顶点就是最大值或最小值.然后求区间端点值,再确定另一个最小值或最大值,最好结合图象作答.,变式训练1:函数y=f(x)的图象如下图所示.,写出该函数的最值及单调区间.,解:由图象知,当x=-1时,函数有最小值-2;当x=2时,函数有最大值3. 增区间是-1,0,; 减区间是-2,-1,.,题型二 利用函数的单调性求最值 例2:求函数 在上的最值.,分析:先利用定义判断函数的单调性,再求最值.,解:设1x10,f(x)在上是减函数. 当2x1x23时,1- f(x1)-f(x2)0, f(x)在(2,3上是增函数. f(x)的最小值为f(2)=2,又f(1)=5,f(3)= f(x)的最大值为5.,规律技巧:当函数的图象不易作出时,常用函数的单调性去求最值.,变式训练2:函数 的最小值是_.,解析:易知 在定义域1,+)上为增函数,故x=1时,有最小值,题型三 抽象函数的单调性与最值 例3:已知函数f(x)对任意x,yR,总有f(x)+f(y)=f(x+y),且当x0时,f(x)0,f(1)= (1)求证f(x)是R上的减函数; (2)求f(x)在-3,3上的最大值和最小值.,分析:抽象函数的性质要紧扣定义,并同时注意特殊值的应用.,解:(1)令x=y=0,f(0)=0,令x=-y可得 f(-x)=-f(x), 在R上任取x1x2, 则f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2) =f(x1-x2). x1x2,x1-x20. 又x0时,f(x)0, f(x1-x2)0, 即f(x1)-f(x2)0.从而f(x1)f(x2), 由定义可知f(x)在R上为单调递减函数.,(2)f(x)在R上是减函数, f(x)在-3,3上也是减函数. f(-3)最大,f(3)最小. f(3)=f(2)+f(1)=f(1)+f(1)+f(1) f(-3)=-f(3)=2. 即f(x)在-3,3上最大值为2,最小值为-2.,误区警示:证明函数的单调性,必须用定义严格证明,不能用特殊值去检验,判断函数的最值,往往从单调性入手.,变式训练3:函数f(x)对x0有意义,且满足f(2)=1,f(xy)=f(x)+f(y),f(x)为增函数. (1)求证:f(1)=0; (2)求f(4); (3)如果f(x-3)2,求x的范围.,解:(1)令x=y=1,得f(1)=f(1)+f(1), f(1)=0. (2)令x=y=2,得f(4)=f(2)+f(2)=2. (3)由f(x-3)2,得f(x-3)f(4), 于是 x-30 x-34,x3,x7,3x7.,例4:若一次函数y=f(x)在区间-1,3上的最小值为1,最大值为3,则f(x)的解析式为_.,错解:设f(x)=ax+b(a0), 则可得 a(-1)+b=1, a3+b=3. 解得 故,正解:设f(x)=ax+b(a0). 当a0时, a(-1)+b=1, a3+b=3,解得 当a0时, a(-1)+b=3, a3+b=1,解得 ,基础强化 1.函数 在上的最小值为( ) C.1,D,2.函数y=x2-2x+2在-2,2上的最大值与最小值分别为( ) A.10,2 B.10,1 C.2,1 D.10,-1,B,3.函数y=ax+1(a0)在区间上的最大值和最小值为( ) A.2a+1,1 B.1,2a+1 C.a+1,1 D.1,1-a,A,4.(2010保定一模)函数f(x)=x2+2x-1,x-3,2的最大值最小值分别为( ) A.9,0 B.7,3 C.2,-2 D.7,-2,解析:f(x)=x2+2x-1=(x+1)2-2,当x=-1时,有最小值-2,当x=2时,有最大值7.,D,5.函数f(x)= 2x+6,1x2, x+3,-1x1,则f(x)的最大值,最小值分别为( ) A.10,8 B.4,2 C.8,4 D.10,2,D,6.函数 ,(a为常数),x-3,-1的最大值与最小值之差为_.,解析:易知 在x-3,-1上是增函数,当x=-1时,y有最大值1+a,当x=-3时,y有最小值 ,最大值与最小值之差为,7.函数 在区间上的值域为_.,54,2,8.已知函数y=x2-2x+3在闭区间上有最大值3,最小值2,则实数m的取值范围是_.,解析:y=x2-2x+3=(x-1)2+2,作出图象,由图象知,1m2.,，,能力提升 9.函数f(x)=ax2-2ax+2+b(a0)在上有最大值5和最小值2,求a,b的值.,解:由f(x)=ax2-2ax+2+b的对称轴为x=1知,无论f(x)的单调性怎样,f(x)在上存在最值的情况有两种: f(2)=2, f(3)=5,或,f(2)=5,f(3)=2.,解得：,a=1,b=0,或,a=-1,b=3.,解析:由题意知,函数的最大值只可能在x=1或x=3时取到,若在x=1时取到,则|1-2-t|=2, t=1或t=-3. 当t=1,x=3时,y=2; 当t=-3,x=3时,y=6(舍去). 若在x=3时取到,则 |9-6-t|=2,t=1或t=5, 当t=1,x=1