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文档简介

第六节 泰勒(Taylor)公式,一、问题的提出,三、几种常用的Maclaurin公式,四、简单的应用,五、作业 练习,二、Taylor公式,一、问题的提出,1、关于多项式,由于它本身的运算仅是,多项式 是最,简单的一类初等函数.,所以在数值计算方面，,多项式是人们乐于使用的工具.,有限项加减法和乘法，,因此我们经常用多项式来近似表达函数.,初等数学已经了解到一些函数如 :,2、近似计算,的一些重要性质，但是初等数学不曾回答怎样,来计算它们？,些结果提供了近似计算这些函数的有力方法.,以 的近似计算为例.,高等数学微分学中所研究出来一,线性逼近优点:形式简单，计算方便；,一次(线性)逼近,利用微分近似计算公式,的线性逼近为:,不足：离原点0越远，近似度越差.,，对 附近的 ,1,二次逼近,期望：,二次多项式 逼近,它要比线性逼近好得多，但局限于 内.,八次逼近,八次多项式 逼近,问：要找的多项式应满足什么条件？,从几何上看，,代表两条曲线，,要使它们在x0附近与很靠近，,很明显,首先要求两曲线在,相交,要靠得更近还要求两曲线在,相切,要靠得更近还要求两曲线在,弯曲方向相同,因为弯曲程度要用切线的变化率-二阶导数来刻画.,进而可推想：若在,附近有,近似程度越来越好,所以要找的多项式应满足下列条件,问题归结为：给定一个函数f (x)，要找一个在指定点 x0,附近与f (x)很近似的多项式函数Pn (x)，,记为,使得,且误差,可估计。,为了在性质上吻合的更好，我们要求:,下面来求多项式Pn(x)的表达式(即系数ai)和误差表达式.,定理（Taylor中值定理）：,思路：,证毕!,在不需要余项的精确表达式时,泰勒公式可写为,上式称为具有佩亚诺型余项的 n 阶泰勒公式.,(5)在公式中，,从而泰勒公式变成如下形式，,称为带有拉格朗日型余项的n 阶麦克劳林公式,三、几个常用的Maclaurin公式,例1、,四、应用,1、近似计算,例2、,例3、求极限。,2、求极限,已知,解:,令 x = 1 , 得,由于,欲使,由计算可知当 n = 9 时上式成立 ,因此,的麦克劳林公式为,例2、,解 因为分式函数的分母是sinx2 ，我们只需将分子中,的cosx与ln(1+x)分别用二阶的麦克劳林公式表示：,和仍记为 ，就得：,对上式作运算时把所有比 高阶的无穷
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