古希腊科学与哲学之二天文学和数理科学.ppt

第二讲 古希腊的科学与哲学,宇 宙 论,问题： 大地的形状,宇宙的结构 泰勒斯：大地在水中放牧，像一根圆木浮在水中 对于大地漂浮于其上的水，泰勒斯并没有刻画， 所以,泰勒斯只给出了很粗糙的宇宙图景，也没回答宇宙的结构的问题,阿那克西曼德,大地处于中心，与各端距离相等，没有朝某个方向运动-无论朝上、朝下，或是朝旁边的运动，因为对于它来说，同时实现相反方向的运动是不可能的，所以它必然保持静止不动 大地处于宇宙中心 宇宙是对称的,?,阿那克西曼德,大地是柱状的，像鼓一样，有彼此相反的两个表面，我们就在其中一个表面上 理由：观察经验：大地表面基本是平的,阿那克西美尼,盘状的大地浮于气上 日月星辰固定在一个半球的水晶体上 半球水晶体盖在大地上面，受气的推动围绕着大地转动,米利都学派的主张： 1、大地需要养料（水、无定形、气） 2、大地位于宇宙中心（阿那克西曼德、阿那克西美尼） 3、大地不是球形的 问题： 为什么米利都学派没有得出“地是球形”的结论？,毕达哥拉斯学派,数的和谐 Cosmos（宇宙）：和谐与秩序 天体的数目是十：中心火、地球、恒星天球、太阳、金星、木星、水星、火星、土星、对地 十这个数目是完满的 地球是球体（所有的天体都是球形的） 球形是最美的立体图形 处于宇宙中央的是中心火，所有的天体包括地球都绕着中心火,以特殊的数为比例作圆周运动。 十个天体之间的距离是和谐的，并且按照它们的距离事物比例而运动，有的快些，有的慢些，运动慢的发出深厚的音调，运动快的发出高昂的音调，由于它们之间的和谐的比率就产生了和谐的音调美妙的乐章,拯救现象,问题：行星的不规则运动 柏拉图： 假定行星作怎样的均匀而有序的运动，才能说明它们表面的运动？,同心球理论,柏拉图蒂迈欧篇 地球是宇宙的中心，它由一层一层的球壳所包围。 各天体在其所处的球壳上运转，它们离地球的距离越来越远，依次是月亮、太阳、水星、金星、火星、木星、土星和恒星球，各同心球之间由正多面体联接，这些天体都围绕着地球运转。,欧多克斯：同心球理论,以图中行星（红点）为例，该行星嵌在四个同心球中最里面的一个球上。每个球绕自己的轴、且按不同的速度旋转。这些轴的取向又各有不同，里面的球的轴置于外面球的内表面上，若选择适当的倾角和各球取不同的旋转速度，就可以解释行星的复杂视运动。也就是说，欧多克斯是把任意曲线的非等速的运动，用许多等速的圆运动来趋近。,同心球理论的要点,1、用几何方法来拯救现象 天是尊贵的完美的，所以必然是作最完美的圆周匀速运动。真正的天文学是研究这最完美的天，可见的天只是我们凡人所观察到得表面现象。 2、运动的是天球（球壳），而非天体 天体固定在天球上，随天球运动。而天球看不见摸不着，只具有形而上学和几何学上特征但对于柏拉图学派而言已经足够了，无需考虑动力来源。,亚里士多德：水晶球宇宙模型,亚里士多德的问题：解决动力问题（物理学） 每个同心球像一个个水晶球那样透明可鉴，是真实的天体 每个同心球的由其外一层的天球推动 最外层：宗动天由神来推动 宇宙理论不但是符合天文现象的数学体系，而且是物理上合理的、可理解的实在的体系,亚里士多德的运动理论,宇宙结构（元素分布）以月亮天球为界 月上天：物质由以太元素构成 月下天：物质由气、火、水、土四种元素构成 天然处所：每种物质都有绝对的天然处所， 重的在下，轻的在上，以太无轻重 运动规则：万物有趋向天然处所的本性 天然运动 受迫运动 运动特征： 月上天：以太物质做永恒的位移运动 月下天：每样物质所含的元素决定了物质的运动趋向 含气含火多则往上升；含水含土多则往地心掉,希腊化文明,公元前4世纪下半叶，马其顿的亚历山大大帝统一了整个希腊，并且在帝国扩张的过程中将希腊文明传播至东方。 亚历山大去世后，他的帝国分为三个部分 1、马其顿（安提哥那王国） 2、叙利亚（塞流卡斯王国） 3、埃及（托勒密王国）缪赛昂学院（Museum） 罗马共和国在公元前146年征服希腊本土，公元前31/30年，最后继业者王国-托勒密王国灭亡 从亚历山大大帝逝世到至公元前2世纪希腊灭亡（或到托勒密王国灭亡），这段时期，称希腊化文明,希腊化时期,阿里斯塔克斯的日心说,基本观点： 将太阳置于宇宙的中心，如果月亮、地球及已知的无可行星在搁置在大小不同的轨道上以不同的速率围绕太阳旋转，则可以得到一个简单的宇宙体系。 优点： 有效解释行星有时离地球较近，有时离地球较远的现象。,问题：为什么阿里斯塔克斯的日心说 没有被人们接受? 致命缺陷： 1、违反了哲学原则和直觉观念 2、没有详细计算和对行星路径的定量预言来加强其体系只是定性的揣测） 3、古希腊人没有观察到周年视差 所以被证伪了,Tips：周年视差,试看看远处的一个物体，在鼻子前举起一直手指，并且闭上一只眼，用另一只眼观看，反复交换两只眼，会发现相对于时钟，手指好像跳了位置。这就是视差。把手伸直，你会发现跳变的位置好像小了一点。因为有视差，我们才能分辨物体的远近，产生距离感。,如果地球不动，那就根本没有视差产生。但是如果地球绕着太阳运动，那么6个月前和6个月后，地球处于轨道直径两端，这么大的距离，应该产生视差。,希腊化时期：地心说的加强,阿波罗尼：本轮与均轮 均轮：以地球为中心旋转(黄圈) 本轮：以均轮上的点为中心旋转（红圈）,只要本轮的转速快过均轮，从均轮中心看就会有行星的逆行,喜帕恰斯：偏心运动,四季看到的太阳的大小并不是一样的，春天和夏天要小一点，秋天和冬天要大一点。所以，太阳和地球之间距离并不是恒定的。地球并不恰好在均轮的中心，而偏开一定距离，即均轮是一些偏心圆。,托勒密：偏心等距点（Equant） 从点E看，本轮的运动作匀速角运动，,所以，只要找到适合的点E，就可以保住天体的运行的完美。,托勒密至大论,至大论共13卷 1-2：地心体系的基本构造 3：太阳的运动以及与之相关的周年长度的计算 4：月球的运动 5：计算月地距离和日地距离 6：月食和日食的计算方法 7-8：恒星和岁差现象 9-13：五大行星的运动,托勒密体系,托勒密的基本假定： 1、天是球形的并且像球那样转动 2、地作为一个整体也是球形的 3、地位于整个天的中央，好像一个中心 4、由于地球的太小，而到恒星天球的距离很大， 地球对于恒星天球来说，小得犹如一个点 5、地球不参与任何转动 匀速圆周运动原则 由本轮运动、偏心圆运动、偏心等距点等技术性的处理， 大概还是能遵循这一古老的原则。,问题：为什么托勒密体系获得成功：,1、对于当时的希腊人来说，已经足够精准 2、观察的差异可以稍加修改就能解决， 时到今日，地心体系依然为航海和星占学所喜用 3、很自然的说明了恒星未显示出的周年视差的原因 4、大部分细节上与希腊地球和天体性质的 哲学原则和物理原则相契合 5、与一般常识契合,小结,米利都学派： 粗糙的宇宙图景,毕达哥拉斯学派： 和谐宇宙,行星不规则运动,柏拉图： 拯救现象,欧多克斯： 同心球理论,亚里士多德： 水晶球模型,同心球时期,古希腊的数理科学,直观经验几何,几何观念的最初来源： 测地 航海、天文学 日常生活中测量面积、铺设地板等活动： 三角形内角和为一平角,泰勒斯：几何证明的初试,直观经验的可错性 亚里士多德：对于泰勒斯而言，他的主要问题并不在于“我们知道什么”，而在于“我们是怎样知道的” 泰勒斯证明的方法： 直观示明(visually showing the truth of a theorem) 演绎论证(deductive argument)。,毕达哥拉斯的几何研究纲领,问题：点有多大？ 连续派： 线段经过无穷步骤的分割，最终可以得到一个点，令其长度为d，那么对于d可以提出两种假说： (i) d=0 (ii) d为无穷小（infinitesimal） 离散派： 线段只能作有限步骤的分割，得到一个点，其长度纵然很小，但不等于0，即 (iii)d0,毕达哥拉斯：d0,毕达哥拉斯的分析： (i)d=0， 则有长度的线段由无线段的点积累而成无中生有 (ii)d是无穷小， 则线段由无穷多个正数加起来其长度正是无穷大！ 所以(iii)是正确的： 点有一定的大小，其长度d0万物是离散的,毕达哥拉斯：任何两线段皆可共度,度量的概念： 人为地取任一单位长度，例如米尺，用来量一条线段，如果三次量尽，那么就说线段长时三米。 如果不能量尽，则把剩下的部分，取小一点的单位量，比如分米。如果再量不尽，再重复前述步骤 会不会永远量不完？ 毕达哥拉斯：不会，因为任何两线段皆可共度！ 定理1：任何两线段a与b是可共度，即： 存在共度单位u0,使得a=m*u，且b=n*u，其中m与n为两个自然数(可以用长度为u的线段同时把a、b量尽) 定理2：任何两线段a与b可共度 a/b是一个有理数,长方形面积公式的证明,定理3：长方形面积=长*宽=a*b 证明：由于a与b可共度，故可取到共度单位u，使得 a=m*u，且b=n*u 用u将长分成m等分，宽分为n等分，立即可以看出长方形的面积为 m*n个 u2 单位，恰好就a*b,b=n*u,a=m*u,每格的面积是u2,勾股定理的证明,要证：左图直角三角形三边关系为a2+b2=c2 证明：根据三角形三内角可知，右图中较小四边形是一个正方形，并且可以看出 大正方形=小正方形+四个全等直角三角形 即,不可共度线段的发现,正四边形的与正五边形，对角线不可共度，而右上图中 右下图中 只需证明存在一个无理数，则可证明存在不可共度的线段 定理5： 不是有理数,不可共度线段的挑战,两条路： 1）接受无理数为数，扩大数的概念为实数，以应付几何学的需要 2）拒绝承认无理数为数，但接受不可共度线段的实际存在 古希腊人的选择：第二条道路 后果：数学与几何分开发展，变为几何优先论,芝诺悖论,a、二分法：要到达终点，先要到中点，而中点是无限的。 b、阿基里斯追龟：要追上乌龟，先要到乌龟先前的位 置，但乌龟总是在先前的位置之前。 c、飞矢不动：运动意味着不能在一个地方停留，但是飞矢在任何一个时刻都在停留它所在的地方。 d、运动场。 从数学的观点看： a、b针对的是连续派，说明无限分割导致无法到达另一端，从而导致悖论 c、d针对的是离散派，说明即使可以分割到一个点（一个瞬间），也同样导致悖论,柏拉图：,柏拉图对不可共度线段的重视 不知道正方形的边与对角线不可共度的人，实在枉费生而为人 处理办法：1、把点、线等概念安置到理念世界 2、几何优先论 规尺作图：只运用没有刻度的直尺和圆规两个工具，在有限步骤之内，作出几何图形。（柏拉图规矩） 希腊数学三大难题 (1)化圆为方，即求圆的面积 (2)二倍立方，即求一立方体之边，使其体积等于已知边长的立方体的二倍 (3)三等分任意角。,亚里士多德：逻辑与演绎,三段论： 人都是会死的 苏格拉底是人 所以 苏格拉底会死 演绎法： A为何成立？因为B；B为何成立？因为C；这样就会无止境地回溯下去，无法完成A的证明。 因此要讲究证明就必须有个直接的出发点，叫做公理(axioms) ，他认为公理是显明的，每个人都能接受而不必证明。要做推理，除了公理之外，还需要一些定义(definitions)、假设 (hypothesis) 以及一般公理（postulates）,欧多克斯,毕达哥拉斯的学派的几何研究纲领并没有完全失败。对于长方形面积公式及相似三角形基本定理，毕达哥拉斯的证明在可共度情形下并没有错，所以只需要补上不可共度情形的证明就可以了 点动成线、线动成面，面动成体。换言之，线、面、 体分别有点、线、面组成。但是点没有长度，如何积累出有长度的线段？线只有长度，没有宽度，即线段没有面积，如何积累出有面积的平面领域？ 欧多克斯：用比例法(theory of proportion)解决了I， 而用穷尽法(method of exhaustion) 初步克服了II,欧几里德几何原本,几何原本共13篇 1、直边形 2、用几何方法求解代数问题 3-4 圆 5、比例论 6、相似形 7-10 数论 11-13 立体几何,欧氏几何原本的基本特色： 由少数几条公理出发，推导出所有的几何定理 五条公理： 任意两个点可以通过一条直线连接。 任意线段能无限延伸成一条直线。 给定任意线段，可以以其一个端点作为圆心，该线段作为半径作一个圆。 所有直角都全等。 若两条直线都与第三条直线相交，并且在同一边的内角之和小于两个直角，则这两条直线在