多维随机变量及其分布1.ppt

联合分布 边沿分布 条件分布,第三章 多维随机变量及其分布,独立性 随机变量函数的分布,本章着重讨论二维随机变量, 它的很多结论 不难推广到n 大于2的情形.,前面我们讨论了一个随机变量的情况,但在实际问题中，某些随机试验的结果需要同时用两个或两个以上的随机变量来描述。例如，为了研究儿童的身体发育情况，需要同时考虑身高X 和体重Y. 又如，考察某地区的气候情况，需要同时考虑气温X1，气压X2，风力X3和湿度X4四个随机变量.,二维随机变量,3.1,定义1 设X, Y 为定义在同一概率空间(, F, P)上 的二个随机变量, 则(X, Y)称为二维随机变量. （也称为二维随机向量）,定义2 设(X, Y)为一个二维随机变量, 记,称二元函数F(x, y)为X与Y的联合分布函数,（或简称为(X, Y)的分布函数）.,显然,几何上, 若把(X, Y)看成平面上随机点的坐标,则分布函数F(x, y)在(x, y) 处的函数值就是随,(参见图3.1),机点(X, Y)落在以(x, y) 为顶点、位于该点左下,方的无穷矩形内的概率.,联合分布函数F(x, y )具有下列性质：,对任意固定的x, 当y2y1时,., F(x, y)是变量x (或y) 的单调不减函数, 即,对任意固定的y, 当x2x1时,.,对任意固定的x,.,对任意固定的y,关于x和关于y均右连续, 即,;,.,(以上性质的证明略), 有,对任意固定的,利用分布函数及其几何意义不难看出, 随机点,(X, Y)落在矩形域,内的概率为（如图）,（x2 ,y2）,（x2 ,y1）,（x1 ,y1）,（x1 ,y2）,y,y2,y1,x1,x2,x,O,0,可以证明，若二元实值函数F(x, y)具有以上,注: 二维随机变量(X, Y)的联合分布函数必须满足,四条性质,而一维随机变量X的分布函数只须满足,三条性质.,四条性质，则必存在随机变量X 和Y ，使F(x, y),是(X, Y)的联合分布函数.,例1 判断二元函数,是否是某二维随机变量的分布函数.,F(x, y)对任意的x1x2 , y1y2, 应有,解: 作为二维随机变量的分布函数,而本题中,若取,因此，函数F(x, y)不能作为某二维随机变量的 联合分布函数.,（满足性质13，但不满足性质4）,1 二维离散型随机变量,则称(X, Y)为二维离散型随机变量.,(X, Y)在各个可能取值处的概率为：,定义 若二维随机变量(X, Y)所取的值为有限多对,设二维离散型随机变量(X, Y)的所有可能取值为,或可列无穷多对,称,为(X, Y)的（联合）分布律，也称为（联合）概率函数.,与一维类似，(X, Y)的联合分布律还可以写成 如下表格形式：,(2),. 可以证明， 若数集,具有以上两条性质, 则它必可作为某二维,(X, Y)的分布律具有下列性质：,(1),离散型随机变量的分布律.,例2 设(X, Y)的分布律为,求a的值.,或,.,解：由分布律性质,所以,即,（负值舍去）,的联合分布律可求得它的联合分布函数F(x, y).,此时有,根据(X, Y)的联合分布函数F(x, y)的定义, 由(X, Y),.,例3 设(X, Y)的,求:,(1) PX=0,(2) PY2,(3) PX 1 ，Y2,(4) PX+Y=2,分布律为,解: (1),且事件X=0,Y=1, X=0,Y=2, X=0,Y=3,两两互不相容, 所以,PX=0=,=0.1+0.1+0.3=0.5,X=0=,X=0, Y=1X=0, Y=2X=0, Y=3,PX=0, Y=1+,P X=0, Y=2+,PX=0, Y=3,且事件,两两互不相容,X=0, Y=1, X=1, Y=1, X=0, Y=2,X=1, Y=2,所以,(3),且事件,所以,(4),互不相容,解:,X与Y的可能值均为1, 2, 3, 利用概率乘法公式,.,例4 现有1, 2, 3三个整数, X表示从这三个数字中随机抽取的一个整数, Y 表示从1至X中随机抽取的一个整数, 试求(X, Y)的分布律.,可得(X, Y)取各对数值的概率分别是,类似地有,而X=1,Y=2,及X=1,Y=3, X=2,Y=3,为不可能事件, 所以其概率为零, 即,(X, Y)的分布律为,例5,(二维两点分布),设X, Y由下表给出,二维两点分布显然满足联合分布率的两条性质.,称（X, Y）服从二维两点分布.,( 0p1 ),2 二维连续型随机变量,二维随机变量(X, Y )的可能取值范围则为xoy,平面上的某个或某些区域, 甚至为整个平面.,一维连续型随机变量X 的可能取值为某个区间,或某些区间, 甚至是整个数轴.,一维连续型随机变量X 的概率特征为存在一个 概率密度函数f(x)满足：,. 类似地, 我们有下面的定义,分布函数,且,设二维随机变量(X, Y)的分布函数F(x, y) ,若存在非负可积函数f (x, y) ,使得对任意的实数 x , y, 有,则称 (X, Y)为二维连续型随机变量；并称f(x, y)为(X, Y)的联合密度函数, 简称密度. 按定义,.,定义,联合密度f (x, y)有以下性质：,(1),(2),反之, 任一定义在整个实平面上的二元函数, 如果具有以上两条性质, 则它必可作为某二维连续型随机向量的联合概率密度.,因而在f (x, y)的连续点(x, y)处，可由联合分布函数F(x, y)求出联合概率密度f (x, y).,若f (x, y)在(x, y)处连续, 则有,由微积分的理论可知：,.,如果已知(X, Y)的概率密度f (x, y), 则(X, Y)在平面区域D内取值的概率为：,由二重积分的几何意义可知：随机点(X, Y)落在平面区域D上的概率在数值上等于以平面区域D为底, 以曲面,为顶的曲顶柱体的体积.,例6 设(X, Y)的联合概率密度为：,求(X, Y)的分布函数F(x, y),.,解: 根据,当x0, y0时，,其他区域,从而,设二维随机变量(X, Y)的分布函数为,求：(1)常数a, b, c; (2) (X, Y)的概率密度,；,解：(1)由分布函数的性质知,例7,从上面第二式 得,从上面第三式 得,再从上面第一式 得,从而概率密度函数为,定义 设D为平面上的有界区域, 其面积为S且,下面介绍两种重要的二维连续型随机变量的分布：,均匀分布与正态分布,则称(X, Y)服从区域D上的均匀分布,S0, 如果二维随机变量(X, Y)的概率密度为,记作(X, Y)UD,.,.,两个特殊情形：,此时,(1) D为矩形区域,(2) D为圆形区域, 如(X, Y)在以原点为圆心,R为半径的圆域上服从均匀分布,此时,例8 设(X, Y)服从下列区域D上（如图）的均匀分布,求:,.,解：如图, D的面积S=,所以(X, Y)的概率密度为,事件,意味着随机点落在阴影区域,其概率为：,其中D:,都是常数, 且,则称(X, Y)服从二维正态分布, 记为,若二维随机变量(X, Y)概率密度为：,(X, Y),二维正态分布的图形是曲面,其中,显然f(x, y) 0,下面证明,令,先计算,记,所以,同样可得,若令,例9,设函数g(x)满足g(x)0 ，且,问,是否为某个二维连续型(X, Y)的联合密度函数？,解：,显然f (x, y) 0,下面证明,所以，,令,是联合密度.,f (x, y),例10,设二维随机变量(X, Y)具有概率密度,(1) 求分布函数F(x, y); (2) 求概率PYX,解:,F(x, y)=,即有,F(x, y),(1),(2) 将(X, Y)看作是平面上随机点的坐标，即有,YX=(X, Y)G,其中G为平面xOy上直线y=x及其下方的部分，于是,PYX=P(X, Y)G=,3.2 边沿分布,定义,设(X, Y)的联合分布函数为,F(x, y),F1(x) F(x, +),F2(y) F(+, y),令,分别称F1(x) 和F2(y) 为F(x, y)关于X和Y的边沿,根据定义可知：,分布函数 .,由此可见，F(x, y)关于X 和Y 的边沿分布函数,下面分别研究连续型和离散型的边沿分布：, 对于二维连续型随机变量(X, Y) , 若(X, Y)的联合概率密度为f(x, y)，,则,分别称为(X, Y)关于X 和Y的边缘概率密度，,即单个随机变量X 和Y的概率密度.,就是单个随机变量X 和Y 的分布函数., 对于二维离散型随机变量(X, Y) , 若(X, Y)的联合概率函数为,显然有,同理,为关于X的边沿分布律，,记为,称,即,为关于Y 的边沿分布律.,同样，称,显然，,关于X或Y的边沿分布律，,随机变量X 或Y 的分布列.,也就是单个,因此，,边沿分布律满足：,例11,1 2 . n,1 2 . n,Y,X,. .,设关于X和Y的联合分布律如下表：,例12 求例4中(X, Y)关于X和Y的边缘分布律.,解:,X和Y的可能取值均为l, 2, 3.,(X, Y)关于X的边缘分布律为：,(X, Y)关于Y的边缘分布律为：,可以将分布律与边缘分布律写在同一张表上,值得注意的是：对于二维随机变量(X, Y),虽然由它的联合分布可以确定它的两个边缘分,布,但在一般情况下, 由 (X, Y)的两个边缘分布是,不能确定(X, Y)的联合分布的.,例13 设盒中有2个红球, 3个白球, 从中每次任取一球, 连续取两次, X, Y分别表示第一次与第二次取出的红球个数, 分别对有放回摸球与不放回摸球两种情形求出(X, Y)的联合分布律与边缘分布律.,解： (1)有放回抽样,PX=0,Y=0=,PX=0,Y=1=,事件X=i与Y=j独立(i, j=0,1)，所以,PX=1,Y=0=,PX=1,Y=1=,有放回摸球情形,(2) 不放回抽样,类似地有,不放回摸球情形,比较两表可看出：在有放回与不放回两种情况下,(X, Y)的边沿分布律完全相同, 但联合分布律却不,相同, 这表明(X, Y)的联合分布不仅反映了两个分量,的概率分布, 还反映了X与Y之间的关系.,若两个分量的概率分布完全相同, 但分量之间的关系,却不同, 则它们的联合分布律也会不同. 因此在研究,二维随机变量时, 不仅要考察两个分量X与Y各自的,个别性质, 还需要考虑它们之间的关系,即应将(X, Y),作为一个整体来研究.,例14,若(X, Y)服从矩形区域上的均匀分布,即联合密度为,容易证明，,关于X的边沿密度为,关于Y的边沿密度为,例15,若(X, Y )服从单位圆上的均匀分布,即联合密度为,求边沿密度.,解：,当|x|1时，,f (x,y)=0,所以,当|x|1时，,即,同理可得,注： 1.矩形区域,2.单位圆上的均匀分布的边沿分布不是一维均匀分布.,上的均匀分布的边沿分布是一维均匀分布.,例16,若(X, Y),前面已经证明,X,Y,1. 边沿分布就是普通的分布，并无特殊的 意义 . 只是说明，这个分布是从联合分布 派生出来的.,注：,从联合分布可以得到其任一分量的边沿 分布，但反之不一定.,2.,3.3 条件分布,由事件的条件概率引出随机变量的条件分布.,一个随机变量或向量X 的条件概率分布，就是,例如，考虑一大群人，从其中随机抽取一个，,在某种给定的条件下, X 的概率分布. 它一般采取,如下的形式：设有两个随机变量X , Y ,在给定了Y,取某个值或某些值的条件下，去求X的条件分布.,分别以X 和Y记其体重和身高，则X, Y都是随机,变量，它们都有一定的概率分布.,现在如限制1.8 Y 1.9(米)，在这个条件下去,求X 的条件分布，这就意味着要从这一大群人,中把其身高在1.8米和1.9米之间的那些人都挑,出来，然后在挑出的人群中求其体重的分布。,容易想像，这个分布与不设这个条件的分布,(无条件分布)是不一样的. 例如，在条件分布,中体重取大值的概率会显著增加.,从这个例子也看出条件分布这个概念的重要性。,在本例中，弄清了X的条件分布随Y的值变化的,情况，就能了解身高对体重的影响在数量上的,刻划. 由于在许多问题中有关的变量往往是彼,此有影响的，这使条件分布成为研究变量之间,相依关系的一个有力的工具.,1 离散型,（条件分布列）.,设(X, Y)是二维离散型随机变量，若,则称,PY=yj0,PX=xi|Y=yj=,(i=1, 2, .),为在Y=yj条件下随机变量X 的条件概率函数,下面分别讨论离散型和连续型的条件分布.,容易验证，上述条件分布列具有分布列的 两条性质.,则称,为在X=xi条件下随机变量Y 的条件概率函数,PX=xi0,PY=yj|X=xi=,( j=1,2,.),(条件分布列).,同样，若,称,记为,为在Y=yj条件下X 的条件分布函数,PX x|Y=yj,或,为在X =xi条件下Y 的条件分布函数,同样，称,记为,PYy | X= xi ,或,F(x| yj),F(y|xi),显然， F(x| yj)不仅依赖于x且依赖于yj .,2 连续型,先考虑在限定a Y b的条件下，X的条件分布.,有,P Xx| aY b=,而,P Xx, aY b=,P aY b=,P Xx | aY b,由此得到,此为X的条件分布函数，对x 求导，得到条件密度函数,下面研究在Y=y时X的条件分布PXx|Yy.,设(X, Y) 的联合密度为f(x, y), 显然不能使用上面的离散型的方法，因为PY=y=0.,（也不能使用前面aY b，令a=b）,设Py Y y +y 0,PX x | y Y y +y ,则有,F(x|y Y y+y),利用积分中值定理，存在y, y“ (y, y+y)，使,F(x|yY y+y)=,令y0，,如果上式极限存在，则应有,F(x|Y=y)=,对上式求导数，得到其密度函数为,f(x|Y=y)=,(如果上式极限存在意味着fY(y)0，且fY(y)在y点,连续，f(u, y)在y点连续，但在高等概率论中，,对连续不满足时也可证明上式成立.）,定义 设连续型二维随机变量(X, Y)的联合密度函,为在Y=y条件下X的条件概率密度,记为fX|Y (x|y),即,称,为在Y=y条件下X的条件分布函数,记为,PXx|Y=y 或 FX|Y(x|y),数为f(x, y),Y 的边沿密度为fY(y), 且fY(y)0，,则称,类似地可以定义fY|X(y|x)和FY|X(y|x),(可以证明，,条件分布函数满足分布函数的三个条件.),条件密度满足密度函数的两个条件,条件密度公式fX|Y (x|y)=,可以改写成,这个公式相应于条件概率的公式P(AB)=P(B/A)P(A),同样，还有,例1,设(X, Y),求,解:,由此可以看出，二元正态分布的条件分布仍然是正态分布,这是正态分布的一个重要性质.,正态分布N(,2)关于点对称， 就是分布的中心位置，而正态分布,的中心位置为,从这里可以看出 刻画了X,Y之间的相依关系：,若0, 则随着x的增加，Y(在X=x时) 的条件分,布的中心点m(x)随x的增加而增加，这意味着，,当x增加时，Y取大值的可能性增加，即Y有随着,X的增加而增加的倾向(如身高和体重的关系).,反之，若0, 则Y有随着X的增加而减少的倾向.,由于这个原因，通常把 0 的情况称为“正相关”， 0 的情况称为“负相关”.,例2,(X, Y)服从单位圆x2+y21上的均匀分布,当|y|1时，,即X在Y=y时的条件分布为区间,上的均匀分布.,例3,设(X, Y) 的联合密度函数为,求,X 的边沿密度为,解：,所以,因此,同事件的独立性一样, 随机变量的独立性也,3.4 随机变量的独立性,Xx与Yy 相互独立意味着Xx, Yy 的,是概率统计中的一个重要的概念.,我们从两个事件相互独立的概念引出两个,随机变量相互独立的概念.,事件Xx与Yy的积事件是Xx, Yy.,概率等于Xx与Yy 的概率的乘积, 由此,引入随机变量X, Y相互独立的定义.,.,定义 设X, Y是两个随机变量, 若对任意实数 x, y,则称X与Y相互独立.,由此可知, 随机变量X与Y相互独立, 即对任意,有,实数x, y, 事件Xx与Yy相互独立.,若F(x, y), FX(x)和 FY(y)分别是X, Y两个随机变量,F(x, y) = FX(x) FY(y) ,下面分别讨论二维离散型和连续型的独立性.,的联合分布函数和边缘分布函数, 则式等价于,1 二维离散型随机变量的独立性,设(X, Y)为二维离散型随机变量, 其分布律为,边缘分布律为:,X与Y相互独立的充要条件为：对一切i, j,有,注意: X与Y相互独立要求对所有i, j的值式都成立.只要有一个i 或 j 的值使得式不成立，则X, Y不独立.,式也可写为,证： 若式成立，即,F(x, y) =,= FX(x) FY(y),反之，若式成立，,即F(x, y)= FX(x) FY(y),则对于任意实数x1 ，x2 ， y1 ， y2，,(其中x1 x2 ， y1 y2),有,Px1 X x2 =FX(x2) FX(x1),Py1 Y y2= FY(y2) FY(y1),上面两式左，右端相乘，得,Px1 X x2 Py1 Y y2,= Fx(x2) FY(y2) Fx(x1) FY(y2) FX(x2) FY(y1)+ FX(x1) FY(y1),= F(x2，y2) F(x1，y2) F(x2 ，y1)+ F(x1 ，y1),= Px1 X x2 ，y1 Y y2,根据概率连续性定理，令,x1 x2 , y1 y2,则有,再根据x2 , y2的任意性，可得式成立,PX = x2 , Y = y2 =,PX = x2 PY = y2,2 二维连续型随机变量的独立性,设二维连续型随机变量(X, Y)的概率密度为 f(x, y),fX(x), fY(y)分别为 (X, Y)关于X和Y的边缘概率密,证：,若式成立，,即F(x, y)= FX(x) FY(y),对上式两端关于x, y求导，得,度，则X与Y相互独立的充要条件是,反之，若式成立，,则有,F(x, y) = FX(x) FY(y),注：1,实际应用中， 式较常用， 式 较少用。,2 若X，Y 独立，则由它们的边沿分布可以 确定联合分布。,3 若X，Y 不独立，则称它们是相依的。,例1 设(X, Y)的联合密度为,证：,证明X、Y相互独立.,当x 0时,当x 0时,即,同理,因此，有,所以，X、Y相互独立,例2,设X和Y的分布列为,且X, Y相互独立，求（X, Y）的联合分布列.,解:,a b=,例3 设(X, Y)的分布律为,解：先求出边沿分布（如上表）,且X与Y相互独立, 求常数a, b之值.,Y,X,1 2 3,1 2,a,b,可得,根据,PX=2=,PY=2=,b=,a=,另一解法：,再根据 X与Y相互独立, 得,PX=2 PY=2= PX=2，Y=2,即,所以,a=,b=,根据 X与Y相互独立, 得,所以,例4 设(X, Y)在以原点为圆心、半径为1的单位圆上服从均匀分布, 问X与Y是否相互独立?,解: (X, Y)的概率密度为,当|x|1时,当|x|1时,关于X的边缘密度为,同理关于Y的边缘密度为,易见, 当|x|1, |y|1时,例5 设(X, Y),证明：(X, Y)的概率密度为,先证充分性, 设=0，,此时,证明X与Y 相互独立的充分必要条件是=0,若X与Y相互独立, 则对任意的x, y有,再证必要性,令,代入上式有,从而知,即,例6,设 (X, Y)的联合分布函数为,(1) (X, Y)的联合密度函数,求:,(2) X, Y的边沿分布函数和边沿密度函数,(3) X, Y是否独立？,解：,（2）边缘分布,(X, Y)的联合概率密度函数为,（1）,因为f (x,y)=fX(x)fY(y),因此X与Y 相互独立.,( 或F(x,y)=FX(x)FY(y) ),(3),例7,设(X, Y) 的联合分布函数为,求,(1) (X, Y) 的联合密度,(2) X, Y 的边沿分布函数和边沿密度,(3) X和Y是否独立?,解：,(1),(2),FX (x)= F(x, +),FY (y)= F(+, y),(3),f(x, y) fX(x) fY(y), 不独立,我们在前面曾讨论了联合分布与边缘分布的关系：,是不能确定联合分布的.,然而由随机变量相互独立,的定义及充要条件可知,当X与Y独立时, (X, Y)的分布,可由它的两个边缘分布完全确定.,联合分布可确定边缘分布, 但一般情形下, 边缘分布,解： 由已知条件得X, Y的概率密度分别为,例8 设X与Y为相互独立的随机变量, X在1, 1 上服从均匀分布, Y 服从参数=2的指数分布, 求： (X, Y)的概率密度.,因为X与Y相互独立, 所以(X, Y)的概率密度为,最后需要说明的是，根据X和Y相互独立的定义，还可以得出,fX|Y(x|y)= fX(x)或 fY|X (y|x)= fY(y),PXx|Y=y = PXx,Pa1Xb1, a2Yb2 = Pa1Xb1Pa2Yb2,等等,( 即FX|Y (x|y)= FX (x) ),在实际问题中, 判断两个随机变量是否相互独立,往往不是用数学定义去验证, 而是由随机变量的实际意义,去考证它们是否相互独立. 如掷两颗骰子的试验中,两颗,骰子出现的点数. 两个彼此没有联系的工厂一天产品,中各自出现的废品件数等都可以认为是相互独立的随,机变量.,3.5 两个随机变量的函数的分布,一般地，设(X, Y)的联合密度为f(x, y)，,FZ(z)=PZz,对FZ(z)求导，可得fZ(z).,而Z=g(X, Y),则,但是，在一般情况下，积分区域g(x, y)z较难确定.,= Pg(X, Y) z=,而Z=g(X, Y),离散型的情况完全类似,设(X, Y)的联合分布率为PX=xi ,Y=yj=pij,(i, j=1,2.),则Z的分布律为,PZ=zk=P g(X, Y) =zk=,例1,设X和Y的分布列为,且X, Y相互独立，,解：,一 和的分布,(X, Y) 的联合分布律为,求,Z2=XY,Z1=X+Y,的分布列,p,(X,Y) Z1=X+Y Z2=XY,0.18,(1, 2) 3 1,(1, 4) 5 3,(3, 2) 5 1,(3, 4) 7 1,0.12,0.42,0.28,所以，Z1和Z2的分布列为,Z1,Z2,3 5 7,0.18 0.54 0.28,3 1 1,0.12 0.46 0.42,定理,(离散卷积公式)设X和Y是相互独立的随机变量，它们都取非负整数值. 其分布列分别为ak和bk(k=0, 1, 2, .), 则Z=X+Y的分布列为,(n=0, 1, 2, .),证：,Z=n=X+Y=n,再根据X和Y的独立性，有,PZ=n=PX+Y=n,= PX=0PY=n+PX=1PY=n1+.+ P X=nPY=0,= PX=0, Y=n+PX=1, Y=n1+.+ PX=n, Y=0,=a0bn+ a1bn1 +.+ anb0,= X=0, Y=n+X=1, Y=n1+.+ X=n, Y=0,例2,设X和Y相互独立，且分别服从参数为1和2的泊松分布，求Z=X+Y的分布.,PZ=n=PX+Y=n,解：,Z的可能取值为0, 1, 2, .,n=0, 1, 2, .,此式说明，两个独立的且均服从泊松分布的随机变量，其和也服从泊松分布.,Z=X+Y P(1+2),例3,设X和Y相互独立，且XB(n1, p), Y B(n2, p), 求Z=X+Y的分布.,PZ=n=,解:,Z的可能取值为0, 1, 2, . , n1+ n2,n=(0, 1, 2, . , n1+ n2),所以， Z=X+Y B(n1 +n2, p),( 证明中用到,此式是由,即 Z=X+Y B(n1 +n2, p),比较等式两端xn的系数所得到 ),例4,设（X, Y）的联合分布律为,求,(1)Z=X+Y,(2)Z=XY,(3)Z=XY,(5)Z=max(X,Y),(4),的分布列,解:,(1)Z=X+Y,由此可得各函数的分布列:,定理,若(X, Y)的联合密度为f (x,y),则Z=X+Y为连续型，其密度为,证：,FZ(z) =PZz,=PX+Yz,令y=vx, 得,因此,FZ(z)=,此时, FZ(z)已经表示为方括号内函数的变上限积分,于是, Z=X+Y仍是连续型，且,fZ(z)=,同理，改变积分次序可得另一表达式,fZ(z)=,特别地，当X和Y相互独立时，上面两式变为,fZ(z)=,这两个公式称为fX(x)和fY(y)的卷积公式(褶积公式),记为fX(x)fY(y),即 fX(x)fY(y)=,或 fX(x)fY(y)=,定理,若X和Y均为连续型随机变量且相互独立，,则Z=X+Y也是连续型随机变量，并且其密,度函数为X和Y的密度函数的卷积.,解：,因为X, Y都服从N(0, 1) 所以,例5,设X和Y相互独立，且它们都服从N(0, 1), 则,Z=X+Y服从N(0, 2) .,因为X和Y相互独立，用卷积公式可得:,此处用到,所以Z=X+YN(0,一般地，若X和Y相互独立，且分别服从,(逆命题也成立: 若Z=X+Y服从正态分布，且,N(1, 12), N(2, 22),则Z=X+Y N(1+2, 12+ 22),X, Y相互独立, 则X和Y都服从正态分布，称为正态,分布的“再生性”） 证明较难.,不难证明，即使X, Y不独立,只要其联合分布为二,维正态分布 N(1, 12; 2, 22; ),则 Z=X+Y仍为正,态, 且Z=X+Y N(1+2, 12+ 22+2 1 2).,例6,解：,因为X和Y相互独立，,所以(X,Y)的联合密度为,f(x, y)=fX(x) fY(y)=,Z 的分布函数,FZ(z)=PZz,=PX2+Y2 z,当z 0时,FZ(z)=0,设X和Y相互独立，且都服从 N(0, 1), 求Z=X2+Y2 的分布,当z 0时,FZ(z)=,所以,FZ(z)=,例7,解:,要使卷积公式,中被积函数不为0,必须有x0且 zx0，,当z0时，,设X和Y相互独立，且都服从 =1的指数分布, 求Z=X+Y 的分布.,即0xz,fZ(z)=0,fZ(z)=,当z0时，,由此可见，指数分布的卷积不再是指数分布.,fZ(z)=,fZ(z)=,所以,例8,设X和Y相互独立，,X N(, 2),求Z=X+Y 的概率密度.,Y在, ,上服从均匀分布，,解:,因为X, Y相互独立，,根据卷积公式,FN(z)=1 1 FX(z) 1 FY(z),二 极大极小分布,设X和Y相互独立，它们的分布函数分别为FX(x),和FY(y),又设M=max(X , Y),N = min(X ,Y),则M, N的分布函数分别为,FM(z)= FX(z) FY(z),证：,FM(z)=,因为事件max(X , Y)z 等价于Xz, Y z,= FX(z) FY(z),=PXz, Y z,PM z,=Pmax(X , Y) z,=P XzPY z,所以,FN(z),= 1 PXz, Y z,= 1 PXz P Y z,= 1 1 FX(z) 1 FY(z),同样,= PNz,= 1 PNz,N = min(X ,Y),= 1 Pmin(X ,Y) z,设(X, Y)的联合密度为,例9,求 max(X, Y) 和,min(X, Y)的分布,解：,（注意：此题并没有说X, Y相互独立, 不能 套用前面的公式),设Z=max(X, Y),(1),当z 0时,FZ(z)=PZz,=P max(X, Y) z,=P X z, Y z,=0,当z 1时,FZ(z)=PZz,=P X z, Yz,=P X 1, Y 1,=1,当0 z 1时,FZ(z),=P X z, Yz,= z3,所以，Z=max(X,Y)的分布为,(2),设Z=min(X, Y),当z0时,FZ(z)=PZz,=P min (X, Y) z,=1P min (X, Y) z,=1PX z, Y z,= 11,=0,当z1时,FZ(z)=P min (X, Y) z,=1PX z, Y z,当0z 1 时,FZ(z)=P min (X, Y) z,=1PX z, Y z,= 10=1,综上, Z=min(X, Y)的分布为,例10,设(X, Y)的联合密度为,求Z=X Y 的密度.,当z 0时,解：,如图,FZ(z)=0,当z 1时,FZ(z)=1,y,1,当0 z 1时,FZ(z)=PZz=PXY z,= 1 PXY z,所以,fZ(z)=,1,3.6 n 维随机变量,定义,若随机变量X1, X2,. , Xn定义在同一概率空间,(, F, P)上,变量或n维随机向量.,则称(X1, X2,.Xn)为一个n维随机,Xi称为第i(i=1, 2, ., n)个分量.,（固然可以对每一个分量单独研究，但把它们,作为一个整体，则不仅能研究各个分量的性质，,还可以考察它们之间的联系.）,称 n元函数,x1, x2 , . , xn +,n 维随机变量的分布,一,定义,为n维随机变量(X1, X2, . , Xn)的联合分布函数.,F(x1, x2 , . , xn)=PX1x1, X2 x2, ., Xn xn,类似一维随机变量的情形，可以证明n元联合,分布函数的一些性质.,n维随机变量也有离散型和连续型之分.,关于每个变量单调不降；,例如，,关于每个变量,右连续；,以及,F(x1, x2 , ., ，. ，xn)=0,F(+, +, . , +)=1,若n维随机变量(X1, X2,.，Xn)的每一个分量Xi,都是离散型，则称(X1, X2,.，Xn)是离散型的.,若Xi(i=1,2,.,n)的所有可能取值为,称为(X1, X2,.，Xn)的概率函数(联合分布律).,ai1 , ai2 ,. ,则事件,的概率,p( j1, j2 , . , jn)=,( j1, j2 , . , jn=1,2,.),(X1, X2,. ,Xn)的概率函数满足：,p( j1, j2 , . , jn) 0,(1),(2),F(x1, x2 , . , xn),若存在n元非负函数f (x1, x2 , . , xn)，,使,对于任意实数 x1, x2 , . , xn，有,则称,n维随机变量(X1, X2, . , Xn)是连续型的.,n元函数f (x1, x2 , . , xn)称为联合密度函数,密度函数满足：,f (x1, x2 , . , xn) 0,(1),(2),均匀分布和正态分布是比较常见的两种多维,连续型分布.,若G为Rn中的有限区域，其测度S 0，,则由密度函数,f (x1, x2 , . , xn),给出的分布称为G上的均匀分布.,若B=(bij)是n阶正定矩阵, 用B1=(rij)表示B的逆矩阵。|B|表示B的行列式的值，a=(a1, a2, .an)是任意实值行向量，则由密度函数,定义的分布称为n元正态分布，简记N(a, B).,这个密度函数也可改写为向量形式：,f (x1, x2 , . , xn)=,f(x)=,此处(xa)T是(xa)的转置, x=(x1, x2 , . , xn),n=2时，二元正态分布,B称为协方差矩阵.,例如,a1=1,a2=2,二 边沿分布,(X1, X2,.，Xk)的,F(x1, x2 , . , xn),令,F1,2,.,k(x1, x2 , . , xk),=F(x1, x2 , . , xk ,+,.,+),F(x1, x2 , . , xn),则称,F1,2,.,k(x1, x2 , . , xk)为,设(X1, X2,.，Xn)的联合分布函数为,边沿分布函数.,同样可以证明，它就是(X1, X2,. ,Xk)的联合,分布函数.,=,上述讨论同样对于,(边沿分布只是说明这样一个事实，若已知,类似地还有边沿概率函数，边沿密度函数.,也成立.,则可以得出其中,，反之不成立),(X1, X2,., Xn)的联合分布，,某一部分的分布,n 维随机变量的独立性,*三,定义,设n维随机变量(X1, X2,. ,Xn)的联合分布函数,为F(x1, x2 ,