线性代数河北工业大学.ppt

线性代数MATLAB计算应用,机电工程学院,线性方程组求解,1齐次线性方程组求解,齐次线性方程组的解包括唯一零解的情况和有无穷多解（非零解）两种情况，其判定方法是求方程组系数矩阵的秩R(A)，当R(A)=n时有唯一零解，当R(A)n时，有非零解存在。,对于R(A)n存在非零解的状况，需要求解齐次线性方程组通解。,例1. 求解齐次线性方程组的通解。(m1.m),输入系数矩阵A A=2,4,-1,4,16;-3,-6,2,-6,-23;3,6,-4,6,19;1,2,5,2,19,求矩阵秩的函数 rank(A),求解方程组基础解系 x=null(A,r),2非齐次线性方程组求解,非齐次线性方程组的解包括,当存在唯一解的状况，用矩阵左除法求出其解。,当存在无穷解的状况,(1)唯一解;,R(A)=R()=n,(2)无穷多解;,R(A) =R() n,(3)无解。,R(A) R(),( a )通过矩阵左除法求出其某一特解,( b )求出导出组的基础解系,( C )基础解系的线性组合加一个特解即为方程组的解。,例2. 求解非齐次线性方程组的通解。(m2.m),(1) 输入系数矩阵A A=2,4,-1,4,16;-3,-6,2,-6,-23;3,6,-4,6,19;1,2,5,2,19,(2) 输入常数列向量b b=-2;7;-23;43,(3) 生成增广矩阵的行最简形R，并将增广矩阵的行最简形中基准元素所在的列号存入向量s中 R,s=rref(A,b);,(4) 求出增广矩阵和系数矩阵的秩 r1=rank(A); r2=rank(R);,(5) 输入未知量个数和方程组个数 m,n=size(A); %m,n为矩阵A的行、列标 号，m,为方程组个数， n为未知量的个数。,(4) 对解进行判定并求解 if r1=r2; disp(方程组无解） else if r2=n disp(方程组有唯一解） disp (方程组唯一解为） x=Ab; else disp (方程组有无穷解） disp (方程组特解为） x1=Ab disp (方程组导出组基础解系为） x0=null(A,r) end end,计算结果显示如下, 方程组有无穷解 方程组特解为 Warning: Rank deficient, rank = 2 tol = 4.3099e-014. In E:Softwareworkm2.m at line 16 x1 = 0 0 7.3333 0 0.3333,方程组导出组基础解系为 x0 = -2 -2 -9 1 0 0 0 0 -2 0 1 0 0 0 1,3线性方程组求解的几何概念,几何概念:空间的点可以用一个向量来定位,在三维空间R3，没有限位的点P(x,y,z)具有三个自由度。,线性方程组的求解问题是通过方程组将空间中自由的点，位置加以限定施加约束，方程组个数越多，对这些点位置的限定就越强。,x,y,z三个数字可以在实数域内任意选择。,例3. 用图形解描述齐次线性方程组的解。 (m3.m),subplot(2,2,3) ezmesh(-2*x1-x2/2+3) title(-2x-0.5y-z=-3) subplot(2,2,4) ezmesh(x1+5*x2+1) hold on ezmesh(3*x1-3*x2-2) ezmesh(-2*x1-x2/2+3) title(方程组的解),A=1,5,-1;3,-3,-1;-2,-0.5,-1; b=-1;2;-3; subplot(2,2,1) ezmesh(x1+5*x2+1) title(x+5y-z=-1) subplot(2,2,2) ezmesh(3*x1-3*x2-2) title(3x-3y-z),对方程组进行求解并用图形表示出来,三个方程分别把三维空间的点限制在三个平面上,满足三个方程的解（方程组的解）为三个平面的公共点，当该点唯一存在的时候，方程组有唯一解。这个点正好被限位。(m3.m),对上述方程组求解可以发现每个方程都把点限制在某一平面上，但是公共解被限定在一条直线上，显示空面内满足这个方程组的解不唯一，公共点没有被唯一地限位，方程组有无数解。(m4.m),求解发现方程组没有公共解，显示空间三个平面没有公共交点，这种情形方程组无解。(m5.m),例4 说明一个桌子分别具有二、三、四条腿的稳定性。,研究桌面，可以知道是空间R3内的一个的平面,方程有7个未知量，一个约束方程，即已知其中六个量方程即确定，所以说方程有六个自由度,添加两个桌腿(x1,y1,z1)， (x2,y2,z2)，给平面方程加两个约束,平面方程必须满足,添加一个桌腿(x1,y1,z1)，相当于给平面方程施加一个约束,平面方程必须满足,以(a,b,c)为未知量，方程组欠定 不平衡,添加三个桌腿(x1,y1,z1)， (x2,y2,z2)， (x3,y3,z3)，给平面方程施加三个约束,此时方程组有唯一解，桌子位置被固定方程组适定,四个桌腿，方程组需满足,方程组个数多于未知量个数超定,可能出现,(a) 一条腿悬空有一个方程不满足,(b) 恰好平衡有一个方程多余方程,(c) 四条腿被强制性固定平面变成曲面,向量组的极大无关组求法有三种： （1）根据最高阶非零子式求解； （2）初等行变换求行向量组的极大无关组； （3）初等行变换求列向量组的极大无关组,给出第三种求法：将列向量组放入矩阵中去，对矩阵作初等行变换，将矩阵化成阶梯或者行最简形， 在每一个阶梯上面取出一列，这些列所对应的向量组就是极大无关组。,向量组求极大无关组,例3：向量组 1=1，1，0，2，2T, 2=3，4，0，8，3T, 3=2，3，0，6，1T, 4=9，3，2，1，2T, 5=6，-2，2，-9，2T。 求出其极大无关组。 (m6.m),解：（1）输入向量组，并将其放入矩阵A a1=1;1;0;2;2; a2=3;4;0;8;3; a3=2;3;0;6;1; a4=9;3;2;1;2; a5=6;-2;2;-9;2; A=a1,a2,a3,a4,a5;,(2)将矩阵A化为行最简形，将基准行的列标号输入向量s中,算出向量组的秩 R，s=rref(A); r=length(s);,(3)输入极大无关组 fprintf(极大无关组为：) for i=1:r fprintf(a%d ,s(i) end for i=1:r A0(:,r)=A(:,s(i); end A0,计算结果显示如下, 极大无关组为：a1a2a4 A0 = 1 3 9 1 4 3 0 0 2 2 8 1 2 3 2,计算结果显示，极大无关组是 1, 2，4，该极大无关组被放入矩阵A0,剩余向量3, 5被极大无关组线性表示如下,(4)将剩余向量用极大无关组线性表示,显然，如果A0可逆的话， 坐标矩阵K很容易求得。 虽然在本例中A0不是方阵，但是MATLAB软件仍可以使用矩阵左除的方法求出坐标矩阵K。,具体计算过程如下：,提取不在极大无关组中的其他向量,s0=1,2,3,4,5; %生成维数等于向量个数的数组,for i=1:r s0(s(i)=0; %将极大无关组标号赋为0 end,s0=find(s0) ; %删除s0中的零元素，保留极大 无关组之外其他向量的标号,r1=length(s0); %提取非极大无关组向量个数,for i=1:r1; A1(:,i)=A(:,s0(i); %将非极大无关组向量存入矩阵A1中 end,将其他向量用极大无关组线性表示，求出坐标矩阵K,K=A0A1,计算结果显示如下,s0 = 3 5 A1 = 2 6 3 -2 0 2 6 -9 1 2 K = -1.0000 3.0000 1.0000 -2.0000 0.0000 1.0000,s0 A1,显示多余向量及其所在的列,本节内容涉及的MATLAB 命令,特征值和特征向量,例4：向量组 a1=2，-1，-1，1T; a2=-1,2,1,-1 T; a3=-1,1,2,-1 T; a4=1,-1,-1,2 T; A=a1,a2,a3,a4;。 求：,(1)求出此向量组生成子空间V的一个标准正交基；并将这组向量在这组基下的坐标显示出来；(m7.m),(2)求出A特征值，特征向量，并将特征向量标准正交化；(m8.m),求出向量组的极大无关组，将极大无关组标准正交化得到标准正交基,将向量组用求出的标准正交基线性表示,解：（1）输入向量组，并将其放入矩阵A,将向量组标准正交化，P的列构成一个空间V的标准正交基,a1=-1;-2;3;4; a2=-2;-3;4;1; a3=-3;-4;1;2; a4=-4;-1;2;3; A=a1,a2,a3,a4;,P=orth(A),计算结果显示：,P = -0.5000 -0.8660 0 0.0000 0.5000 -0.2887 -0.0000 0.8165 0.5000 -0.2887 0.7071 -0.4082 -0.5000 0.2887 0.7071 0.4082,说明向量组生成了一个四维空间，其一组标准正交基由P中列向量表示,将A中列向量组用P的列向量线性表示（求坐标）,K=PA,计算结果显示：,K的列向量为14在所求标准正交基下的坐标,K = -2.5000 2.5000 2.5000 -2.5000 -0.8660 -0.2887 -0.2887 0.2887 0.0000 0.0000 0.7071 0.7071 0.0000 0.8165 -0.4082 0.4082,（2）求出A特征值，特征向量，并将特征向量标准正交化；,V,D=eig(A) V1,D1=schur(A),V = 0.7887 0.2113 0.2887 -0.5000 0.2113 0.7887 -0.2887 0.5000 0.5774 -0.5774 -0.2887 0.5000 0 0 -0.8660 -0.5000 D = 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 5,V1 = 0.7887 0.2113 0.2887 -0.5000 0.2113 0.7887 -0.2887 0.5000 0.5774 -0.5774 -0.2887 0.5000 0 0 -0.8660 -0.5000 D1 = 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 5,需要掌握的MATLAB语句,（1）求矩阵的秩： r=rank(A),（2）化矩阵为行最简形： R= rref(A),（3）化矩阵为行最简形并提取基准列号： R,s=rref(A) %可以求向量组极大无关组,（4）求齐次线性方程组的基础解系： x= null(A,r),（5）求非齐次线性方程组的特解： x0=Ab,（6）求矩阵特征值： r=eig(A),（7）求矩阵特征向量： V,D=eig(A),平面运动的概念,1.刚体平面运动:刚体内各点分别保持在与某一 固定平面平行的平面内运动,A1,A2,S,a,固定平面,如图: S 为刚体上任一平行于 固定平面的平面, A1A2 为任一垂直于固定 平面的直线,并交S于a点,根据平面运动的定义可以知道，A1A2上各点与a点运动状况相同，因此，整个刚体的运动形式都可由它在平面I或者II上投影的运动状况表示，而这个投影是一个平面图形。,2.刚体的平面运动可以简化为: 平面图形S在其所 在平面内的运动 (即:只要知道了平面图形 S的运动,就可以知道整个 刚体的运动),实验14 刚体平面运动,研究刚体在平面上投影这个平面图形的运动,平面图形初始位置,平面图形最终位置,平面图形运动分解：,平面图形平移,平面图形转动,平面图形上的点M(x,y),平移后到达点M1(x1,y1),此时对应运算为 ：,或者（扩充向量维数） ：,即 ：,点M1(x1,y1) 转动角后到达点M2(x2,y2),此时对应运算为 ：,或者（扩充向量维数） ：,即 ：,点M(x,y),经过平面运动后到达点M2(x2,y2)的运算关系可以表达为,例5：直角三角形ABC,三点坐标分别为A(0,0),B(5,0), C(0,8),完成以下图形移动：,（1）向上移动10，向右移动20；（平移）,（2）逆时针转动3/4；（转动）,（3）先顺时针转动/2，再向上移动15， 向右移动10。 （平面运动）,解：构造平面图形的矩阵,矩阵的列向量描述了三角形的顶点位置，三角形需要封闭,（1）向上移动10，向右移动20；（平移）,平移矩阵,（2）逆时针转动3/4；（转动）,旋转矩阵,（3）先顺时针转动/2，再向下移动15， 向左移动10。 （平面运动）,平移矩阵,旋转矩阵,程序(m9.m),clear all X=0,10,0,0;0,0,20,0;1,1,1,1; %输入三角形顶点坐标 K1=1,0,20;0,1,10;0,0,1; %平移矩阵 K2=cos(3*pi/4),-sin(3*pi/4),0; sin(3*pi/4),cos(3*pi/4),0;0,0,1; %旋转矩阵 R1=1,0,-10;0,1,-15;0,0,1; %平移矩阵 R2=cos(-pi/2),-sin(-pi/2),0; sin(-pi/2),cos(-pi/2),0;0,0,1; %旋转矩阵 Y1=K1*X;Y2=K2*X;Y3=R1*R2*X; %生成新图形 fill(X(1,:),X(2,:),k); hold on fill(Y1(1,:),Y1(2,:),b); fill(Y2(1,:),Y2(2,:),g); fill(Y3(1,:),Y3(2,:),r); grid on,运行结果,常微分方程求解问题,例6. 求解如下常微分方程组初值问题。(m10.m),初始条件,平抛运动,定义向量,原方程组变为,描述(010s) 中点的运动轨迹,将时间区域分割，取21个点， 时间步长为0.5s