角形全等的判定一.ppt

12.2 三角形全等的判定(一),B,C,知识回顾,1、 什么叫全等三角形？,能够重合的两个三角形叫 全等三角形。,2、 已知ABC DEF，找出其中相等的边与角,AB=DE BC=EF CA=FD A= D B=E C= F,AB=DE, CA=FD, BC=EF, A= D, B=E, C= F,1.满足这六个条件可以保证ABC DEF吗？ 2.如果只满足这些条件中的一部分,那么能保证ABC DEF吗?,思考：,1.只给一条边时；,3,3,1.只给一个条件,45,2.只给一个角时；,45,结论:只有一条边或一个角对应相等的两个三角形不一定全等.,探究一,两边；,两角。,一边一角；,2.如果满足两个条件，你能说出有哪几种可能的情况？,如果三角形的两边分别为3cm，4cm 时,4cm,4cm,3cm,3cm,结论:两条边对应相等的两个三角形不一定全等.,三角形的一条边为4cm,一个内角为30时:,4cm,4cm,30,30,结论:一条边一个角对应相等的两个三角形不一定全等.,如果三角形的两个内角分别是30，45时,结论:两个角对应相等的两个三角形不一定全等.,根据三角形的内角和为180度，则第三角一定确定，所以当三内角对应相等时，两个三角形不一定全等,两个条件 两角； 两边； 一边一角。,结论：只给出一个或两个条件时，都不能保证所画的三角形一定全等。,一个条件 一角； 一边；,你能得到什么结论吗？,三角；,三边；,两边一角；,两角一边。,3.如果满足三个条件，你能说出有哪几种可能的情况？,探索三角形全等的条件,已知两个三角形的三个内角分别为30，60 ，90 它们一定全等吗？,这说明有三个角对应相等的两个三角形 不一定全等,三个角,已知两个三角形的三条边都分别为3cm、4cm、6cm 。它们一定全等吗？,三条边,先任意画出一个ABC，再画出一个ABC ,使 AB= AB ,BC =BC, A C =AC.把画好ABC的剪下，放到ABC上，他们全等吗？,画法: 1.画线段 BC =BC;,2.分别以 B ， C为圆心,BA,BC为半径画弧,两弧交于点A;,3. 连接线段 AB ， AC .,探究二,三边对应相等的两个三角形全等。 简写为“边边边”或“SSS”,边边边公理：,注： 这个定理说明，只要三角形的三边的长度确定了，这个三角形的形状和大小就完全确定了，这也是三角形具有稳定性的原理。,证明：在ABC与DEF中,A,B,C,D,E,F,AB=DE AC=DF BC=EF,ABCDEF（SSS）,判断两个三角形全等的推理过程，叫做证明三角形全等。,归纳：,准备条件：证全等时要用的条件要先证好；,三角形全等书写三步骤：,写出在哪两个三角形中,摆出三个条件用大括号括起来,写出全等结论,证明的书写步骤：,尺规作图,由三边分别相等判定三角形全等的结论，利用尺规作图作一个角等于已知角 课本36页,练习: 已知：如图，AB=AD，BC=DC， 求证：ABC ADC,A,B,C,D,AC,AC ( ),AB=AD ( ) BC=DC ( ), ABC ADC（SSS）,证明：在ABC和ADC中,=,已知,已知,公共边,B=D,B=D, BAC= DAC AC是BAD的角平分线,AC是BAD的角平分线,A,C,B,D,证明：D是BC的中点,BD=CD,在ABD与ACD中,AB=AC（已知）,BD=CD（已证）,AD=AD（公共边）,ABDACD（SSS）,如图, ABC是一个钢架，AB=AC,AD是连接A与BC中点D的支架，求证： ABDACD,求证：B=C,B=C,求证：ADBC,ADB=ADC=90 ADBC,全品P23, 9题 思考：根据已知条件，能够得到那两个三角形全等？ 由三角形全等，得到哪些角对应相等？ 等量替换后发现什么？,全品P24，12题 猜想AB与EC位置关系 证明平行 转化 证明角相等 证明角相等 转化 证明三角形全等 证明三角形全等 转化 找三条对应相等的边,全品P24，13题 证明角相等 转化 证明三角形全等 寻找全等的三角形，构造全等的三角形,添加辅助线（公共边）,小结,1、边边边公理 2、转化思想 证线段位置关系 （垂直、平行） 角平分线 求角度数、数量关系,角相等,证三角形全等,找三条对应相等的边,找对应相等的边：公共边、中点或中线、通过计算（同加或同减）、做辅助线（构造公共边等）,作业,1、配套练习册p25-27 2、课本P43复习巩固 3题、9题 注意写清步骤,全等三角形的判定 （SAS）,1、边边边公理 2、转化思想 证线段位置关系 （垂直、平行） 角平分线 求角度数、数量关系,角相等,证三角形全等,找三条对应相等的边,找对应相等的边：公共边、中点或中线、通过计算（同加或同减）、做辅助线（构造公共边等）,复习,思考：如图，有一池塘，要测池塘两端A、B的距离，可先在平地上取一个可以直接到达A和B的点C，连接AC并延长到D，使CD=CA.连接BC并延长到E，使CE=CB.连接DE，那么量出DE的长就是A、B的距离.为什么？,分析：如果能证明ABCDEC ，就可以得出AB=DE.,在ABC和DEC中， CA=CD ， CB=CE . ACB=DCE（对顶角） 满足以上两个条件能否使两个三角形全等呢？,画ABC,使AB=3cm，AC=4cm。,画法：,2. 在射线AM上截取AB= 3cm,3. 在射线AN上截取AC=4cm,若再加一个条件，使A=45，画出ABC,1. 画MAN= 45,4.连接BC,则ABC就是所求的三角形,把你们所画的三角形剪下来与同桌所画的三角形进行比较，它们能互相重合吗？,探究新知1,由前边的作图比较过程，我们可以得出什么结论？,用符号语言表达为：,在ABC与DEF中,AB=DE A=D AC=DF,ABCDEF（SAS）,两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。简写成“边角边”或“SAS”,探究新知2,边边角,（角不夹在两边的中间，形成两边一对角 ）,做一做,已知两条线段和一个角，以长的线段为已知角的邻边，短的线段为已知角的对边，画一个三角形,步骤： 1、画一线段AB,使它等于4cm ； 2、画 BAM= 45 ； 3、以B为圆心, 3cm长为半径画弧,交AM于点C ； 4、连结CB ABC即为所求,把你画的三角形与其他同学画的三角形进行比较，所有的三角形都全等吗？,探究新知,A,B,M,C,D,结论：两边及其一边所对的角相等，两 个三角形不一定全等.,练一练,1、如图，B点在A点的正北方向。两车从路段AB的一端A出发，分别向东、向西进行相同的距离，到达C、D两地。此时C，D到B的距离相等吗？为什么？,B,D,A,C,【证明】在BAD和BAC中，,BA=BA BAD=BAC AD=AC,则BADBAC (SAS).,即BD=BC,寻找对应相等的边角边 公共边-对应边 垂直-对应角（90） 中点-对应边,2、如图，点E、F在BC上，BE=CF，AB=DC， B=C，求证： A=D,A,D,B,E,F,C,【证明】BF=BE+EF CE=CF+FE 而BE=CF BF=CE,在ABF和DCE中，,BF=CE B=C AB=DC,BADBAC (SAS),即A=D,寻找对应相等的边角边 相等线段同加同减-对应边,3、如图，已知AB=AE,AC=AD,BAD=EAC, 证明：B=E,A,B,C,D,E,证明： BAD=EAC BAD+DAC=EAC+DAC 即BAC=DAE,在ABC与ADE中，,AB=AE BAC=DAE AD=AC,ABCAED B=E,寻找相等的角 相等的两个角同加或同减，得到相等的对应角,4、如图，AB平分DAC，要用SAS条件确定ABCADB,还需要有什么条件？,A,B,C,D,AC=AD,寻找相等的对应角 角平分线 寻找相等的对应边 公共边,全品P25 8题、9题,证明线段相等-先证明三角形全等（SAS),寻找相等的对应角 根据平行线的性质 （内错角相等、同位角相等） 直角三角形（直角）,1、边边边公理、边角边公理夹角 2、转化思想 证线段位置关系 （垂直、平行） 角平分线 求角度数、数量关系,角相等,证三角形全等,SSS SAS,小结,线段相等,寻找对应相等的边：公共边、中点或中线、通过计算（同加或同减）、做辅助线（构造公共边等） 寻找对应相等的角：公共角、角平分线平分角、直角或垂直（90）、平行线性质、通过计算（同加或同减）,小结,12.2 三角形全等的判定(ASA AAS),1.什么是全等三角形？,2.判定两个三角形全等方法有哪些?,复习,三边对应相等的两个三角形全等。,边边边：,边角边：,有两边和它们夹角对应相等的两个 三角形全等。,边边边：三边对应相等的两个 三角形全等。,边角边：有两边和它们夹角对应 相等的两个三角形全等,复习引入,一张教学用的三角形硬纸板不小心 被撕坏了，如图，你能制作一张与原来 同样大小的新教具？能恢复三角形 的原貌吗？,怎么办？可以帮帮我吗？,创设情景,C,B,E,A,D,先任意画出一个ABC，再画一个A/B/C/，使A/B/=AB， A/ =A， B/ =B (即使两角和它们的夹边对应相等)。把画好的A/B/C/剪下，放到ABC上，它们全等吗？,探究1,画法：,2、在 A/B/的同旁画DA/ B/ =A ， EB/A/ =B， A/ D，B/E交于点C/。,1、画A/B/AB；,通过实验你发现了什么规律？,A,B,C,E,D,有两角和它们夹边对应相等的两个三角形全等(简写成“角边角”或“ASA”）。,探究反映的规律是：,角边角判定定理,符号语言表示,在ABC和DEF中，A=D，B=E ，BC=EF，ABC与DEF全等吗？能利用角边角条件证明你的结论吗？,探究2,有两角和它们中的一边对应相等的两个三角形全等(简写成“角角边”或“AAS”）。,符号语言：,例题讲解：,例1.已知：点D在AB上，点E在AC上，BE和CD相交于 点O，AB=AC，B=C。 求证：BD=CE,B,1、准备条件：证全等时要用的条件要先证好；,2、三角形全等书写三步骤：,写出在哪两个三角形中,摆出三个条件用大括号括起来,写出全等结论,证明的书写步骤：,课本P41, 1题、2题,3、利用全等三角形的性质得到结论,寻找对应相等的边：公共边、中点或中线、通过计算（同加或同减）、做辅助线（构造公共边等） 寻找对应相等的角：公共角、角平分线平分角、直角或垂直（90）、平行线性质、通过计算（同加或同减） 同角的余角相等,小结,1.你能总结出我们学过哪些判定三角形 全等的方法吗？,小结,2.要根据题意选择适当的方法。,3.证明线段或角相等，就是证明它们所 在的两个三角形全等。,布置作业,练习册P44 4、 6 配套练习册P31-33,全等的判定,直角三角形,？,？,？,？,如图，舞台背景的形状是两个直角三角形，工作人员想知道这两个直角三角形是否全等，但每个三角形都有一条直角边被花盆遮住无法测量.,（1）你能帮他想个办法吗？,方法一：测量斜边和一个对应的锐角. (AAS),方法二：测量没遮住的一条直角边和一个对应的锐角. (ASA)或(AAS),如图，舞台背景的形状是两个直角三角形，工作人员想知道这两个直角三角形是否全等，但每个三角形都有一条直角边被花盆遮住无法测量., 如果他只带了一个卷尺，能完成这个任务吗？,工作人员测量了每个三角形没有被遮住的直角边和斜边，发现它们分别对应相等，于是他就肯定“两个直角三角形是全等的”.你相信他的结论吗？,按照下面的步骤做一做：, 作MCN=90;, 在射线CM上截取线段CB=3cm;, 以B为圆心,4cm为半径画弧，交射线CN于点A;, 连接AB.,画一个RtABC，C=90，一直角边BC=3cm,斜边AB=4cm,直角三角形全等的判定,斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等. 简写成“斜边、直角边”或“HL”.,在使用“HL”时,同学们应注意！ “HL”是仅适用于直角三角形的特殊方法. 注意对应相等. 因为”HL”仅适用直角三角形, 书写格式应为: 在Rt ABC 和Rt DEF中 AB =DE AC=DF RtABCRtDEF (HL),判断直角三角形全等条件,三边对应相等 SSS 一锐角和它的邻边对应相等 ASA 一锐角和它的对边对应相等 AAS 两直角边对应相等 SAS 斜边和一条直角边对应相等 HL,直角三角形是特殊的三角形，所以不仅有一般三角形判定全等的方法，还有直角三角形特有的判定方法“HL”. 我们应根据具体问题的实际情况选择判断两个直角三角形全等的方法.,想一想,你能够用几种方法说明两个直角三角形全等？,(1) _,A=D ( ASA ) (2) AC=DF,_ (SAS) (3) AB=DE,BC=EF ( ) (4) AC=DF, _ ( HL ) (5) A=D, BC=EF ( ) (6) _,AC=DF ( AAS ),B,C,A,E,F,D,把下列说明RtABCRtDEF的条件或根据补充完整.,AC=DF,BC=EF,HL,AB=DE,AAS,B=E,如图，ACBC,BDAD