西安电子科技大学电院电磁课件第1章矢量分析.ppt

第一章 矢量分析,1.1 场的概念和表示法 1.2 三种常用的坐标系 1.3 标量场的梯度 1.4 矢量场的通量 散度 1.5 矢量场的环流 旋度 1.6 亥姆霍兹定理,1.1 场的概念和表示法,场的概念：,物理系统中某物理量在该区域的一种分布。,标量场：被描述的物理量是标量，用一个标量函数 来描述,矢量场：被描述的物理量是矢量，用一个矢量函数 来描述,场不仅具有空间属性，还具有时间属性,静态场：物理系统的状态只按空间分布，不随时间变化，即物理系 统的状态是静态的； 记为 （标量场）和 （矢量场）；,时变场：物理系统的状态不仅按空间分布，还随时间变化，即场的 分布是动态的； 记为 （标量场）和 （矢量场）；,一个矢量场在具体坐标系中可以分解为三个分量场。 例如：在直角坐标系中，静态场可表示为,、,、,所以，一个矢量场对应三个标量场,其中， 、 、 都是标量场,1.2 三种常用的坐标系,1.2.1 直角坐标系,坐标变量: 变量取值范围: 单位矢量： （ ） 任一矢量可表示为： 位置矢量： 微分元：,度量系数： 面积元： 体积元：,图 1.2.2 直角坐标系中的体积元,1.2.2 柱坐标系,图 1.2.3 柱坐标系,坐标变量: 变量取值范围: 单位矢量： （ ） 任一矢量可表示为： 位置矢量： 微分元：,度量系数： 面积元： 体积元：,图 1.2.4 柱坐标系的体积元,1.2.3 球坐标系,图 1.2.5 球坐标系,坐标变量: 变量取值范围: 单位矢量： （ ） 任一矢量可表示为： 位置矢量： 微分元：,度量系数： 面积元： 体积元：,图 1.2.6 球标系的体积元,1.2.4 三种坐标系的坐标变量之间的关系,（1）直角坐标与柱坐标系的关系,（2）直角坐标与球坐标系的关系,（3）柱坐标系与球坐标系的关系,1.3 标量场的递度,1.3.1 标量场的等值面,标量场(x, y, z)的等值面方程为,图1.3.1 标量场的等值面,曲面上的各点,虽然坐标 不 同,但函数值相等,1.3.2 标量场的方向导数 梯度,函数 在 的梯度定义,图 1.3.2 方向导数和梯度,函数 在点 沿 方向的方向导数,若点M在等值面 上移动,根据微分定义,而,标量场的方向导数的定义,直角坐标系中哈密顿算符表示为,直角坐标系中梯度计算公式为,柱坐标系中的哈密顿算符和梯度计算公式为,球坐标系中的哈密顿算符和梯度计算公式为,1.4 矢量场的通量 散度,1.4.1 矢量场的通量,n的指向有两种情况： （1）对开曲面上的面元， 的取法要求围成开表面的边界走向与 满足右手螺旋法则 （2）对闭合面上的面元， 一般取外法线方向,空间面元矢量：,面元大小,与面元垂直的单位矢量,图1.4.1 空间中的面元,将曲面S各面元上的AdS相加，它表示矢量场A穿过整个曲面S的通量，也称为矢量A在曲面S上的面积分：,如果曲面是一个封闭曲面，则,图1.4.2 矢量场的通量与源的关系,（体积内存在着流体的源）,（体积内存在着流体的负源）,（体积无流体的源）,1.4.2 矢量场的散度,称此极限为矢量场A在某点的散度，记为divA，即散度的定义式为,矢量场A的散度可表示为哈密顿微分算子与矢量A的标量积， 即,直角坐标系中的散度计算公式为,柱坐标系中的散度计算公式：,球坐标系中的散度计算公式：,1.4.3 高斯散度定理,高斯散度定理的意义：任意矢量场 的散度在场中任意体积内的 体积分等于矢量场 在限定该体积的闭合面上通量。,将闭合面 包围的体积 分成无穷多个体积元 .,并使最大体积元,例1.4.1 点电荷 位于球坐标原点，此电荷的电场强度在空间中分布如下,（1）计算在 的球面上，电场强度 穿出的通量。 （2）计算空间各点（ ）电场强度 的散度。 解：位于坐标原点的电荷的电场，电场强度的方向总在 方向上，呈发散状分布。 在 球面上任取一面元 ，则 在 球面上的通量为 对于 的空间各点，电场强度 的散度为,图1.4.4 点电荷的电场与,1.5 矢量场的环量 旋度,在力场中，某一质点沿着指定的曲线c运动时，力场所做的功可表示为力场F沿曲线c的线积分，即,1.5.1 矢量场的环流,旋涡场在空间中的分布形态可从两个方面来描述: (一) 旋涡场在空间中旋转的快慢程度 (二) 旋涡场的旋转面在空间中怎样取向,环流越大，场在C 围成的面上旋转越快。,(a)S 面与旋涡面垂直 (b) S面与旋涡面相交 (c) S面与旋涡面平行 图1.5.3 C上环流的三种情况,可以证明，在发散场中，对于任选 的空间闭合曲线 C上的环流恒为零。,1.5.2 矢量场的旋度,此极限说明了在m点附近，场在C围成的面上单位面积的平均环流,在直角坐标系中，,图1.5.4 直角坐标系中 的,于是：,同理：,则：,=,柱坐标系中：,行列式形式为：,球坐标系中：,行列式形式为：,旋度有两个重要的性质（读者自己证明）： （1）矢量场的旋度的散度恒为零， （2）标量场的梯度的旋度恒为零，,1.5.3 斯托克斯定理,因为旋度代表单位面积的环量，因此矢量场在闭合曲线c上的环量等于闭合曲线c所包围曲面S上旋度的总和， 即,此式称为斯托克斯定理或斯托克斯公式。它将矢量旋度的面积分变换成该矢量的线积分，或将矢量A的线积分转换为该矢量旋度的面积分。式中dS的方向与dl的方向成右手螺旋关系。,1.6 亥姆霍兹定理,亥姆霍