《概率统计1章》PPT课件.ppt

概率论与数理统计,主讲： 张 伟,In each fields we must carefully distinguished three aspects of theory, (a) the formal logical content, (b) the intuitive background, (c) the application. The character, and the charm, of the whole structure cannot be appreciated without considering all three aspects in their proper relation. Feller(费勒):A Course in Probability Theory （Academic Press， New York）,威廉.费勒（1906-1970）：20世纪最伟大 的概率学者之一，师从希尔伯特和柯朗.,（1）公理化体系；,（2）直观的历史背景；,（3）现实应用；,概率论与数理统计论理论,概率论与数理统计中的那些事儿,故事1：故事发生在十七世纪中叶，法国贵族德美黑热衷于赌博，经常遇到赌资分配问题。他曾写信向当时法国的大数学家Pascal 请教问题：,假如一场比赛中先胜6局才算赢，两个赌徒在一人胜五局，另一人胜两局的情况下中断赌博，如何分配赌金？,故事2：贝特朗奇论 Bertrand问题是在一个单位圆周上随机的任取一根弦，求其长度大于内接等边三角形边长的概率。,将弦的一端A固定在单位圆上，随机的在单位圆周上取另一个点B，连接成弦，如图1所示，满足长度大于单位圆内接等边三角形边长的弦的点落在弧段 上 ，,因此弦大于内接等边三角形边长的概率为,解法一,故事2：贝特朗奇论 Bertrand问题是在一个单位圆周上随机的任取一根弦，求其长度大于内接等边三角形边长的概率。,设定弦垂直于某直径，先取定一条直径 ，然后在直径上随机的选取点 ，过点作垂直于的弦如图2，,因此弦大于内接等边三角形边长的概率为,解法二,故事3：估计问题,假定一个盒子中有白、黑球共3个，但不知各有几个，,如果有放回的抽取3次球，发现第1，3次是黑球，第2次,是白球，试估计黑球所占的比例？,课程的主要内容,第一章 随机事件及其概率,第二章 随机变量及其分布,第三章 多维随机变量及其分布,第四章 随机变量的数字特征,概率论部分（36学时）,第五章 大数定律与中心极限定理,课程的主要内容,数理统计（12学时）,第六章 样本及抽样分布,第七章 参数估计,第八章 假设检验,内容概括为如下关键词 Stochastic Variable（随机变量） Classical model（古典概型） Characters（数字特征） Evaluation（估计） Distributions（概率分布）,第一章 随机事件及其概率,随机试验与随机事件 随机事件的关系及运算 频率与概率 等可能概型 条件概率 事件的独立性,第一节 随机试验与随机事件,随机试验 随机事件与样本空间,一、随机试验,对随机现象进行观察的试验，具有以下特点：,可以在相同的条件下重复进行；,试验的可能结果不止一个，并且在试验前能预先知道全部可能结果；,在每次试验前不能预先知道哪个结果会出现。,E1：抛一枚硬币，观察正面H（Heads）、反面T （Tails）出现的情况。 E2 ：将一枚硬币抛掷三次，观察正面、反面出现的情况。 E3：将一枚硬币抛掷三次，观察出现正面的次数。 E4：抛一颗骰子，观察出现的点数。 E5：记录寻呼台一分钟内接到的呼唤次数。 E6：在一批灯泡中任意抽取一只，测试它的寿命。 E7：记录某地一昼夜的最高温度和最低温度。,例如,E8 炮弹发射试验,不能预先准确知道命中位置.,二、随机事件与样本空间,定义1:,随机试验E的所有可能结果组成的集合称为E,的样本空间,记为 S ,样本空间的元素,即E的每个结果，,称为样本点,记为e。,1. 样本空间,例1：,将一枚硬币连抛三次,1) 观察正反面出现的情况,2) 观察正面出现的次数,注意：,样本空间的元素是由试验目的所决定的。,2. 随机事件,定义2,样本空间中的子集称为随机事件，简称事件，,一般记为 A, B, C等。,A 点数之和为7 ,例2：抛两个骰子，骰子可分辨，观察其出现的点数，,=(1,1),(1,2) ,(6,6),A=(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1),注：随机事件本质上就是集合.,基本事件：,一个样本点组成的单点集(试验E的每个 可能结果）,必然事件：,每次试验中必然发生的事件,记为 S。,不可能事件：,每次试验一定不发生的事件,记,事件A发生,A中的某一个样本点在试验中出现,事件间的关系 事件的运算,第二节 事件间的关系及其运算,一、事件间的关系,事件间的关系：包含关系、等价关系，对立关系、互斥关系.,包含关系,A发生必然导致B发生.,事件B包含事件A，即,A与B相等，,记为 A=B。,等价关系,互斥关系,，则称A,B为互不相容事件，即AB不能,同时发生。,对立关系,且,，则称事件A与B互为逆事件,或互为对立事件。,A的对立事件记为,=S-A。,二、事件间的运算,事件间的运算：和事件、积事件和差事件.,事件的和,A和B的和事件,表示A与B中至少有一个发生，即：,A与B中至少有一个发生时，,发生。,事件的积,表示事件A和B同时发生， 即：,A与B的积事件,当且仅当A与B同时发生时，,通常简记为AB。,发生。,事件的差,A-B 表示事件A发生但事件B不发生,但,A与B的差事件,三、事件的运算法则,交换律,；,结合律,分配律,德摩根律：,；,推广：,;,，,注：事件的一些关系式,例1.,设A,B,C 表示三个事件, 试表示下列事件,(1) A 发生, B 与C 不发生,(2) A 与B 发生, C 不发生,(3) A, B 与C 都发生,(4) A, B 与C 至少有一个发生,(5) A, B 与C 全不发生,(6) A, B 与C 至少有两个发生,例2 某城市的供水系统由甲、乙两个水源与三部分管道 1，2，3 组成。每个水源都可以供应城市的用水。,设事件 Ak 表示第 k 号管道正常工作，k=1，2，3。 B 表示“城市能正常供水”，,城市,甲,乙,1,2,3,解：,概率的统计定义,频率,第三节 频率与概 率,概率的公理化定义,1.定义 : 设 E, S , A为E中某一事件，在相同条件进行,n次独立重复试验，事件A发生的次数记为,称为A的频率。(frequency),一、频率,则比值,2. 性质：,结论：当n较小时，频率呈偶然性，波动性很大；随着 n的增加，波动幅度减小，最后集中在某一个数附近。,频 率 稳 定 值 概率,事件发生 的频繁程度,事件发生 的可能性的大小,频率的性质,概率的公理化定义,这种称为频率稳定性，也就是通常所说的统计规律性，,频率稳定值,即概率的统计定义。,二、概率（概率的公理化定义）,1.定义 设 E, S ,对于E的每一事件A，赋予一个实数，,记为P(A),称为事件A的概率,如果P( )满足以下三个公理：, 非负性：, 规范性：, 可列可加性：,2. 计算公式,（1）有限可加性,证明：,且 A 和 BA互不相容,注：两个重要的推论,保号性：,减法公式：,证明：,（4）求逆公式,推广：,例1,【解】,典型例题分析,一、利用公式求解事件的概率,例2 某人外出旅游两天，据天气预报知：第一天下雨的概率为0.6，第二天下雨的概率为0.3，两天都下雨的概率为0.1，试求下列事件的概率：,(2) 第一天不下雨，第二天下雨；,(1) 第一天下雨，第二天不下雨；,(3) 至少有一天下雨；,(4) 至少有一天不下雨。,【解】设A第一天下雨，B第二天下雨,则,(1),(2),(3),(4),分析： 首先假设事件，对欲求事件进行表示，再利用概率计算公式求解。,【解】,二、利用概率性质求解事件的概率,【解】,三、已知事件间的关系，求解事件的概率,故事发生在十七世纪中叶，法国贵族德美黑热衷于赌博，经常遇到赌资分配问题。他曾写信向当时法国的大数学家Pascal 请教问题：,假如一场比赛中先胜6局才算赢，两个赌徒在一人胜五局，另一人胜两局的情况下中断赌博，如何分配赌金？,Pascal 和当时第一流的数学家 Fermat 一起研究了此问题，得到正确的解答：15 : 1.,依据,3）其中仅有第一个赌徒四局皆输， 第二个赌徒才可能赢.,解：,1）设想再进行4 局比赛即一定可结束；,2）共有24 种可能情况，每一种情况出现是等可能的.,16种可能情况中,仅有“第一个赌徒四局皆输” 一种情况有利于第二个赌徒，故,P1 =15/16, P1 =1/16,15 : 1,结论:,第四节 等可能概型,排列与组合初步,等可能概型的定义,计算方法,一、排列与组合,1、乘法原理,若进行A1过程有n1 种方法，若进行A2过程有n2 种方法，则进行A1过程或进行A2 过程的有n1*n2 种方法。,2、加法原理 若进行A1过程有n1 种方法，进行A2过程有n2 种方法，假定A1过程与A2 过程是并行的，则进行A1过程或进行A2 过程的有,种方法。,3、排列 从包含有n 个元素的总体中取出 k 个进行排列，这时既要考虑取出的元素，也要顾及其取出的顺序，这种排列可分为两种：,1） 有放回的选取 从 n 个元素中取出 k 个进行排列,其排列总数共有nk 种。,此为选排列。,特别当 k = n 时，称为全排列。,n 个元素的全排列数为：,2） 无放回的选取从 n 个元素中取出 k 个进行排列, 由于取后不放回，由乘法原理可知，其总数为,4 组合 从 n 个元素中取出 k 个元素进行排列（不 考虑其顺序）称为组合。其总数为：,小试牛刀 1. 有三张参观卷，要在5人中确定3人去参观，不同方法的种数是_. 要从5件不同的礼物中送出3件分送3位同学，不同的 方法种数是_. 5名工人要在3天中各自选1天休息，不同方法的种数是_. 集合A中有m个元素，集合B中有n个元素，从两个集合中各取1个元素，不同的方法种数是_。 答案（1）10；（2）60；（3）243；（4）mn,1.定义：具有以下两个条件的随机试验称为等可能概型,有限性 试验的样本空间中的元素只有有限个；,等可能性 每个基本事件的发生的可能性相同。,等可能概型也称为古典概型。,二、等可能概型,2.计算公式：, 若事件A包含k个基本事件，即,则有,典型例题分析,1、盒中摸球模型； 2、质点装盒模型； 3、随机取数模型；,例1 6只不同球(4白2红)，从袋中依次取两球，观察其颜色。 分别做 a.有放回抽样 b.不放回抽样，求下列事件的概率：,(1) “取到的两只球都是白球”,(2) “取到的两只球颜色相同”,(3) “取到的两只球中至少有一个是白球”,解 a.有放回,(1),(2),例1 6只不同球(4白2红)，从袋中依次取两球，观察其颜色。 分别做 a.有放回抽样 b.不放回抽样，求下列事件的概率：,(1) “取到的两只球都是白球”,(2) “取到的两只球颜色相同”,(3) “取到的两只球中至少有一个是白球”,解 a.有放回,(1),(2),(1),(2),(3),b.无放回,(考虑先后顺序),思考：如果不考虑先后顺序呢？,例2：（抽签模型） 袋中有50个乒乓球，其中20个是黄球，30个是白球，今有两人依次随机地从袋中各取一球，取后不放回，则第2个人取到黄球的概率是_.,【解】应填,例3：四名优等生随机保送三所学校去，每所学校至少得一名的优等生的概率为_.,【解】四名优等生保送三所学校的方案总数为,每所学校至少有一名优等生的方案总数为,于是每所学校至少有一名优等生的概率为,例4：(生日问题) 设每个人的生日在一年365天中的任一,(1) 他们的生日各不相同的概率为多少？,(2) n个人中至少有两个人生日相同的概率为多少？,解 (1) 设 A= “n个人的生日各不相同”,(2) 设 B = “n个人中至少有两个人生日相同”,当 n 等于64时，在64人的班级中，B发生的概率,接近于1，即 B几乎 总是会出现。,第四节 条件概率,条件概率,乘法公式,全概率公式与贝叶斯公式,(1) 抽中的是k的概率;,(2) 若已知抽中的是红桃,问抽中的是k的概率。,解：,A 抽中的是红桃, B 抽中的是k,(1),(2),上述式子具有普遍性吗?,一 条件概率,1、定义,设 A，B为两事件，且,则称,为事件A发生条件下事件B发生的条件概率。,注：条件概率的标示词：“如果”、“当”、“已知”等.,则,注：条件概率类似加法公式、减法公式和求逆公式。,2、性质,互斥，且,是随机事件，,则,（1）直接利用定义求解,例1：设,【解】充分利用事件间的关系与条件概率的定义求解.,3、典型例题分析,互斥，则,由保号性可知：,（2）缩减样本空间法,例2：设10件产品中有4件不合格，从中任取两件，已知所取两件中至少有一件不合格，则另一件不合格的概率为_.,【解】事件A 为两件中至少有一件不合格取法数有,在事件A 发生的条件下，另一件仍不合格事件即为取出两件产品都不合格，则取法数共有,所以所求概率为,解法二：定义法,则由已知得,（3）条件概率的性质,答案：应选（B）,推广:,若,二、乘法公式,（2）如果取到一个合格品就不再取下去，求在3次内取到合格品的概率。,（1）若依次抽取3次, 求第3次才抽到合格品的概率；,（1）,则,且互不相容,设一个班中30名学生采用抓阄的办法分一张电影,票,问各人获得此票的机会是否均等？,例5、,同理,第i个人要抓到此票,他前面的i-1个人都没抓到此票,三、全概率公式与贝叶斯公式,定义:,(1),(2),则称,注：,（1）对每次试验，,1、全概率公式,则有,证:,全概率公式的难点,（2）难点 需要根据具体情况构造一组完备事件组。,（1）适用范围 前提未知或者前一步骤未知情况下，求事件的概率；,（3）最简单的形式,例6、,假设有甲、乙两袋，甲袋中有3个白球2个红球，乙,再从乙中任取一球，问取到白球的概率为多少？,【分析】第一次取球未知：红球或白球；,袋中有2个红球3个白球，今从甲中任意取一只放入乙中，,=,【解】 设 A 从乙中取到白球， B 从甲中取到白球,例7、,从数1,2,3,4中任取出一个数 X，再从1,-, X中任取一,【解】 第一次取数X未知:X=1,X=2,X=3,X=4,个数，记为Y，则PY=2=_.,=,运用全概率 公式计算P(A),2、 贝叶斯公式,，称此式为贝叶斯公式。,贝叶斯公式的难点,（2）难点 条件概率与全概率公式的应用；,（1）适用范围 由果溯因的问题，求条件概率；,（3）最简单的形式,【解】,分别表示该产品是由甲、乙、丙车间生产，,设 A 表示“任取一件产品为次品”,由题意得,由贝叶斯公式,所以该产品是甲车间生产的可能性最大。,用全概率公式求,得,A-某种临床试验呈阳性;,B-被诊断者患有癌症.,【解】,由题意已知:,【解】设事件A表示“作弊成功”,事件B 表示“严格监考”,例10 考试监考问题，设如果严格监考，作弊成功的概率为1，如果不严格监考，则作弊成功的概率为15，某学校严格监考的概率为0.7，求 （1）学生作弊成功的概率; （2）如果某次考试有学生作弊成功，求该考试监考不严格的概率。,由题意,（1）学生作弊成功的概率,（2）如果某次考试有学生作弊成功，该考试监考不严格的概率为,例11.设有两箱同种的产品，第一箱中装有50件产品，其中10件次品；第二箱内装有30件产品，其中18件次品，先从两箱中挑出一箱，然后从该箱中依次不放回的抽取两件产品，试求 （1）先取出次品的概率； （2）在先取出次品的条件下，第二次取出的仍为次品的概率.,【解】,为第 i 次取出次品，i= 1, 2;,（1）先取出次品的概率,又因为,（2）在先取出次品的条件下，第二次取出的仍为次品的概率,则：,第五节 事件的相互独立性,独立性的定义,伯努利概型,1.两个事件相互独立,定义1：,设A、B是两个事件，如果有如下等式成立,则称事件A、B相互独立。,一 、独立性,注：事件的独立即积事件的概率为事件概率的乘积 。,定理：,设 A、B是两个事件, 若,，则A、B 相互独立的充分必要