《复变函数论》PPT课件.ppt

,复变函数论,对 象,复变函数（自变量为复数的函数）,主要任务,研究复变函数之间的相互依赖关系， 具体地就是复数域上的微积分.,主要内容,复变函数的积分、级数、留数、 共形映射等.,复数与复变函数、解析函数、,学习方法,复变函数中许多概念、理论、和 方法是实变函数在复数域内的推 广和发展，它们之间有许多相似 之处.但又有不同之处，在学习 中要善于比较、区别、特别要注 意复数域上特有的那些性质与结 果.,背 景,复数是十六世纪人们在解代数方程时引进的.为使负数开方有意义，需要再一次扩大数系，使实数域扩大到复数域. 但在十八世纪以前，由于对复数的概念及性质了解得不清楚，在历史上长时期人们把复数看作不能接受的“虚数”. 直到十八世纪，J.DAlembert与L.Euler等人逐步阐明了复数的几何意义和物理意义，澄清了复数的概念，并且应用复数和复变函数研究了流体力学等方面的一些问题. 复数才被人们广泛承认接受，复变函数论才能顺利建立和发展.,复变函数的理论基础奠定于十九世纪. A.L.Cauchy 和K.Weierstrass分别应用积分和级数研究复变函数，G.F.B.Riemann研究复变函数的映照性质。他们是这一时期的三位代表人物.经过他们的巨大努力，复变函数形成了非常系统的理论，且渗透到了数学的许多分支，同时，它在热力学，流体力学和电学等方面也得到了很多的应用. 二十世纪以来，复变函数已被广泛地应用在理论物理、弹性理论和天体力学等方面，与数学中其它分支的联系也日益密切.,1. 复数的概念 2. 代数运算 3. 共轭复数,一 复数及其代数运算,1. 复数,复数:形如:z=x+iy或z=x+yi的数，其中x和y是任 意的实数，i是虚数单位( 的平方根）. x和y分别称为的实部和虚部，分别记作：,注：复数相等是指它们的实部与虚部分别相等. 如果Imz=0，则z可以看成一个实数； 如果Imz不等于零，那么称z为一个虚数； 如果Imz不等于零，而Rez=0，称z为一个纯虚数.,复数的四则运算定义为：,全体复数引入以上的四则运算后就称为复数域 . 记为C，复数域可以看成实数域的扩张. 注:在复数域中不能规定复数像实数那样的大小关系.,z1+z2=z2+z1； z1z2=z2z1； (z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)； z1(z2z3)=(z1z2)z3； z1(z2+z3)=z1z2+z1z3 .,运算规律,复数的运算满足交换律、结合律、分配律.（与实数相同）即，,共轭复数的性质,3. 共轭复数,定义 若z=x+iy , 称z=xiy 为z 的共轭复数.,(conjugate),1. 点的表示 2. 向量表示法 3. 三角表示法 4. 指数表示法,二 复数的表示方法,1. 点的表示,2. 向量表示法,称向量的长度为复数z=x+iy的模或绝对值； 以正实轴 为始边, 以 为终边的角的 弧度数 称为复数z=x+iy的辐角.(z0时),辐角无穷多：Arg z=0+2k， kZ，,z=0时，辐角不确定.,3. 三角表示法,非零复数的三角表示定义为：,复数加、减法的 几何表示如右图：,关于两个复数的和与差的模，有以下不等式：,4. 指数表示法,例4 用复数方程表示: （1）过两点zj=xj+iyj (j=1,2)的直线；,解 ：z=z1+ t (z2-z1)（-t +）,（2）中心在点(0, -1), 半径为2的圆.,1. 复数的乘积与商 2. 复数的乘幂 3.复数的方根,三 复数的乘幂与方根,定理1 两个复数乘积的模等于它们的模相乘， 两个复数乘积的辐角等于它们的辐角相加.,证明 ：设z1=r1(cos1+isin1)=r1ei1 z2=r2(cos2+isin2)=r2ei2 则 z1z2=r1r2(cos1+isin1)(cos2+isin2) = r1r2cos(1+2)+isin(1+2) =r1r2ei(1+2),1. 数的乘积与商,因此 |z1z2|=r1r2，Arg(z1z2)=Argz1+Argz2,几何意义： 将复数z1按逆时针方向旋转一个角度 Argz2，再将其伸缩到|z2|倍.,定理1可推广到n 个复数的乘积.,要使上式成立,必须且只需 k=m+n+1.,定理2 两个复数的商的模等于它们的模的商， 两个复数的商的辐角等于被除数与除 数的辐角之差.,于是 Argz=Argz2-Argz1 即,由复数除法的定义 z=z2 /z1，即 z1z = z2 |z|z1|=|z2|及Argz1+Argz=Arg z2（ z10）,证明,由公式有：,由三个是内角容易得到：,设z=re i，由复数的乘法定理和数学归纳法可证 明 zn=rn(cos n+isin n)=rn ein.,2. 复数的乘幂,定义,问题 给定复数z=re i ，求所有的满足n=z 的复数.,3. 复数的方根,（开方）乘方的逆运算,当k=0，1，n-1时，可得n个不同的根，而k取其它整数时，这些根又会重复出现.,几何上， 的n个值是 以原点为中心， 为半 径的圆周上n个等分点， 即它们是内接于该圆周 的正n边形的n个顶点.,1. 区域的概念 2. 简单曲线（或Jordan曲线) 3. 单连通域与多连通域,四 区 域,1. 平面点集的几个基本概念,D-区域,D的所有边界点组成D的边界.,注：区域都是开的，不包含它的边界点 . 下面看几个区域的实际例子.,例1 集合,为一个垂直带形，它是一个单连通无界区域，其 边界为两条直线：,例2 集合,为一角形，它是一个单连通无界区域，其边界为 半射线.,例3 集合,为一个圆环，它是一个多连通有界区域，其边界 为圆.,2. 简单曲线（Jardan曲线),令z(t)=x(t)+iy(t) atb ; 则曲线方程可记为：z=z(t)， atb,简单闭曲线的性质(Jardan定理),3. 单连通域与多连通域,例如 |z|0）是单连通的； 0r|z|R是多连通的.,多连通域,单连通域,1. 复变函数的定义 2. 映射的概念 3. 反函数或逆映射,五 复变函数,1. 复变函数的定义,定义,例2,例1,在几何上， w=f(z)可以看作：,定义域,函数值集合,2. 映射的概念,以下不再区分函数与映射（变换）.,在复变函数中用两个复平面上点集之间的 对应关系来表达两对变量 u，v 与 x，y 之间的对应关系，以便在研究和理解复变 函数问题时，可借助于几何直观.,复变函数的几何意义是一个映射（变换）,例3,解,关于实轴对称的一个映射,旋转变换(映射),例4,解,图1-1,图1-2,图2,例5,3、反函数或逆映射,例 设 z=w2 则称 为z=w2的反函数或逆映射,故为多值函数,2支.,定义 设 w =f (z) 的定义集合为G,函数值集合为G*,例 已知映射w= z3 ，求区域 0argz 在平面w上的象,例,1. 函数的极限 2. 运算性质 3.函数的连续性,6 复变函数的极限与连续性,一、函数的极限,定义,几何意义: 当变点z一旦进 入z0 的充分小去 心邻域时,它的象 点f(z)就落入A的 一个预先给定的 邻域中,注 (1) 定义中 的方式是任意的. 与一元实变函数相比较要求更高.,(2) w0是复数.,2. 运算性质,复变函数极限与其实部和虚部极限的关系：,定理1,(3) 若f(z)在 处有极限,其极限是唯一的.,例,三、函数的连续性,定义,定理3,例4 证明f (z)=argz在原点及负实轴上不连续。,证明,定理4 连续函数的和、差、积、商 (分母不为0) 仍为连续函数; 连续函数的复合函数仍为连续函数。,有界性：,例2,1.复球面与无穷大 2. 无穷远点,7 复球面与无穷远点,一、复球面与无穷大:,在点坐标是(x,y,u)的三维空间中，把 xOy面看作是z面。考虑球面S：,取定球面上一点N(0,0,1)称为球极。,我们可以建立一个复平面C到S-N之间的一个1-1对应（球极射影）：,球极