般矩阵的相似对角形1.pptVIP

相似矩阵,记 AB,(1) 相似矩阵具有自反性、对称性、传递性。,(2) AB AB,反之不对。,相似矩阵的简单性质：,相似矩阵和相似变换的定义：,相似与等价的关系,定理 n阶矩阵AB，则存在可逆矩阵P, 使得 fA () = fB () .,证明： AB 存在可逆矩阵P, 使得 B = P1AP fB() = |EB| = |EP1 AP| = | P1(EA)P | = | P1 |EA| P | = | P1 | P |EA| = | P1 P | |EA| = |EA| = fA () .,说明，相似矩阵有相同的特征多项式，故线性变换A 的矩阵A 的特征多项式与基的选取无关，它反映了线性变换的本质属性，故 可将矩阵A的特征多项称为线性变换A 的特征多项式，记为 fA ().,该定理的逆一般不成立，即 fA() = fB() 一般推不出AB .,但 A，B不相似. 因为与A = E 相似的矩阵只能是 A. ( 设 X1 AX = B B = X1 AX = X1 X = E = A ),性质：相似矩阵有相同的特征值。,注：属于同一特征值的特征向量的线性组合仍是属于这一 特征值 的特征向量；但属于不同特征值的特征向量的 线性组合一般就不是特征向量了。,证明矩阵 有相同特 征值的方法,利用对角矩阵计算矩阵多项式,相似矩阵的简单应用：,利用上 述结论可以 很方便地计 算矩阵A 的 多项式 .,定理,证明,该结论实际上是Hamilton-Caylay定理,具体应用实例：,= 0,矩阵的相似对角化,矩阵的相似对角化,矩阵与对角阵相似的条件：,=,由此可得什么结论？,（且线性无关。）,定理1：n阶矩阵A与对角阵相似的充要条件为A有n个线性 无关的特征向量。,例 不可对角化,解：特征方程式：,A没有两个线性无关的特征向量 故A不可对角化,推论：若A有n个互异的特征值，则A与对角阵相似.,例：判定A是否可对角化,解：因为A为三角矩阵，其特征值为,因为三个特征值均不同， 故A为可对角化矩阵,但推论逆命题不对。（见教材P120）,说明 如果 的特征方程有重根，此时不一定有 个线性无关的特征向量，从而矩阵 不一定能 对角化，但如果能找到 个线性无关的特征向量， 还是能对角化,思考：矩阵能否与对角阵相似，取决于矩阵能否有n个线性无关的特征向量。,若矩阵A的特征值互异，则矩阵能与对角阵相似，问题已经解 决；若矩阵A有重特征值，则不能马上断言。这时要看特征向量了。,总之，只要k重特征值对应k个线性无关的特征向量就行了。,综上，有：,？,矩阵相似对角化的方法：,解,解之得基础解系,所以 可对角化.,注意,即矩阵 的列向量和对角矩阵中特征值的位置 要相互对应,解：,矩阵相似对角化的步骤：,作业 设矩阵,作业 设 A 是 3 阶矩阵且 E + A , 3EA ,E3A 均不可逆 .证明 ：,小结,相似矩阵 相似是矩阵之间的一种关系，它具有很多良好 的性质，归纳如下：,相似变换与相似变换矩阵,这种变换的重要意义在于简化对矩阵的各种 运算，其方法是先通过相似变换，将矩阵变成与 之等价的对角矩阵，再对对角矩阵进行运算，从 而将比较复杂的