行列式克莱姆法则.pptVIP

11.2行列式,一. 行列式的定义 1. 二阶行列式与三阶行列式 2. n阶行列式 二. 行列式的性质 三. 行列式按行（列）展开定理及其推论 四. 方阵乘积的行列式 五. 克莱姆法则,用消元法解二元线性方程组,一、二阶行列式的引入,方程组的解为,由方程组的四个系数确定,且为一个数.,由四个数排成二行二列（横排称行、竖排 称列）的数表,定义,即,主对角线,次对角线,对角线法则,二阶行列式的计算,若记,对于二元线性方程组,系数行列式,二、三阶行列式,定义,记,（6）式称为数表（5）所确定的三阶行列式.,(1)沙路法,三阶行列式的计算,(2)对角线法则,注意 红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三 元素的乘积冠以负号,说明1 对角线法则只适用于二阶与三阶行列式,例,解,按对角线法则，有,例3,解,方程左端,补充定义一阶行列式为：,观察：有什么特点？,2. 类似地，定义四阶行列式为：,3.由归纳法，从上面可以看出，可以给出任意阶行列式的定义：,(1)（余子式的定义）设n-1阶方阵的行列式已经定义，对于n阶方阵,去掉A的第i行和第j 列，其余元素不动所构成的n-1阶方阵的行列式 称为元素 的余子式。,如：,解：,(2) n阶行列式|A|的定义： 规定n阶行列式|A|为下式的值：,记为：,（也将|A|记为D或Dn）。,也称之为行列式|A|按第一行的展开式。,例2.计算下列行列式 ：,解：按第一行展开有,结论：下三角行列式（或对角行列式）的值，等于它的主对角线上的元素的乘积。,二、行列式的性质,性质1 行列式与它的转置行列式相等.,行列式 称为行列式 的转置行列式.,记,说明 行列式中行与列具有同等的地位,因此行列 式的性质凡是对行成立的对列也同样成立.,例如,数乘行列式等于数乘行列式的某一行(列）的所有元素。,证明,则D等于下列两个行列式之和：,例如,性质7 把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式不变,例如,例,二、应用举例,计算行列式常用方法：利用运算 把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值,解,说明：利用性质7，可将行列式化为上三角行列式,所有列的元素之和相等,所有列的元素之和相等,三. 行列式按行（列）展开定理及其推论,n阶行列式|A|的元素 的余子式为 ， 令：,叫做 的代数余子式。,按第i 行展开,按第j 列展开,说明：利用此性质，可对行列式进行 降阶运算-称之为降阶法。,选取零元素较多的行（ 列）展开,定理1.3 n阶行列式|A|的值等于它的任一行 （列）的元素与其相应的代数余子 式乘积之和。 即：,例1,证,用数学归纳法,n-1阶范德蒙德行列式,推论 行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即,证,同理,关于代数余子式的重要性质,例3 计算行列式,解,按第一行展开，得,例 计算行列式,解,四. 方阵乘积的行列式,定理两个n阶方阵A与B乘积的行列式等于这两个方阵的行列式的乘积，即|AB|=|A|B|,推论1 设A1， A2， Am是m个n阶方阵，则| A1 A2 Am |=| A1| A2 | | Am |,定义11.9 如果|A|0，则称n阶方阵A为非奇异方阵，否则称为奇异方阵。,推论2 设A，B是两个n阶方阵，则AB为奇异方阵的充分必要条件是A，B中至少有一个是奇异方阵。,方阵A的行列式|A|的运算性质：,例4：,小结,(行列式中行与列具有同等的地位,行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立).,计算行列式常用方法：(1)利用定义;(2)利用性质把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值,行列式的6个性质,3. 行列式按行（列）展开法则是把高阶行列式的计算化为低阶行列式计算的重要工具.,思考题,求第一行各元素的代数余子式之和,思考题解答,解,第一行各元素的代数余子式之和可以表示成,设线性方程组,则称此方程组为非,齐次线性方程组;,此时称方程组为齐次线性方程组.,非齐次与齐次线性方程组的概念,五、克莱姆法则,如果线性方程组,的系数行列式不等于零，即,其中 是把系数行列式 中第 列的元素用方程 组右端的常数项代替后所得到的 阶行列式，即,那么线性方程组 有解，并且解是唯一的，解 可以表为,二、重要定理,定理1 如果线性方程组 的系数行列式 则 一定有解,且解是唯一的 .,定理2 如果线性方程组 无解或有两个不同的 解，则它的系数行列式必为零.,齐次线性方程组的相关定理,定理 如果齐次线性方程组