《讲归纳与猜想》PPT课件.ppt

第十讲 归纳与猜想,在解决数学问题时，往往从特殊探求一般；或者从现有的条件、结论，通 过观察、类比、联想，进而猜想我们未知的知识和结论。这种思考方法就是归 纳与猜想。 归纳和猜想是学习数学、解决数学问题的行之有效的方法之一。它能使复 杂的问题简单化，抽象的问题具体化，从特殊问题中总结出一般规律。我们若 对一些我们不熟悉的甚至无从下手的数学问题进行有目的观察试验、归纳、猜 想常能得到一些有益的启发，为解决数学问题提供一定的方向和依据。,例1,分数,分子 9 16 25 36 ,1+2 2+2 3+2 4+2 ,分母 5 12 21 32 ,与序号的关系 (1+2)24 (2+2)2 4 (3+2)2 4 (4+2)2 4 ,(n+2)2,(n+2)24,第n个数是,序号 1 2 3 4 n,在一列数下标出各数的序号,若一列数中的各个数字都可以划分出若干部分，则可一个部分一个部分地逐一进行观察、归纳,要注意观察，分解出一列数中不随序号改变的数和运算！,若一列数的大小由前向后变化“速度”较快，则这列数的形成常常与乘方运算有关,一、如何归纳在一列数之中存在的规律,观察与序号的关系,( )2 ( )2 ( )2 ( )2 ,要注意观察各部分之间的关系,探索一列数中存在的规律之方法一：观察数与它所在序号之间的关系,例2 有一组数：1，2，5，10，17，26，请观察这组数的构成规律， 用你发现的规律确定第8个数为 ,1+1,26+11,2+3,5+5,10+7,17+9,37+13,50,探索一列数中存在的规律之方法二：观察相邻的项或前几项，找出由前一项（或前几项）表示后一项的规律这样只要知道第一项（或前几项），就可以逐一将随后的项表示出来,37,提高训练2 （2008年湖北十堰中考题）观察下面两行数： 2， 4， 8， 16， 32， 64， 5， 7， 11， 19， 35， 67， 根据你发现的规律，取每行数的第10个数，求得它们的和是,第行的第10个数是210=1024,第行的第10个数是1024+3=1027,它们的和是1024+1027=2051,二、如何归纳算式之中存在的规律,例3 已知下列等式 13=12 13+23=32 13+23+33=62 13+23+33+43=102 依此规律，第n个式子为_,首先注意到算式中不变的部分,然后归纳随着序号变化的部分,注意等式两边的关系,(1+2+3+n)2=,（1+2）2,（1+2+3）2,（1+2+3+4）2,12,三、如何归纳数表之中存在的规律,例4,1观察每行（或每列）的第一（或最后）个数字与它所在的行数（或列数）之间的数量关系,2观察每行（或每列）的数字与它周围（上、 下、左、右）数字间的数量关系,从第2行开始，两个相邻数的和等于上一行 正对这两个数中间的那个数或者说，从 第1行开始，每个数减去它下一行与它相 近的偏左的数等于下行偏右的数例如,雨露招生试题,在小时候，我们就用手指练习过数数，一个小朋友按如图所 示的规则练习数数，数到2009时对应的指头是（ ） A大拇指 B食指 C中指 D无名指,这里，实际上也是给了一个简单的数表，如下： 1 2 3 4 5 9 8 7 6 10 11 12 13 17 16 15 14 18 19 20 21,观察每行（或每列）数字的个数,除第1行外（以下同），每行4个数,观察数字的排列方式和特征,奇数行由小到大，第1个数是偶数 偶数行由大到小，第1个数是奇数,观察每行（或每列）的第一（或最后）个数字 与它所在的行数（或列数）之间的数量关系,从第2行开始，偶数行第1列各行第1个数字是5+4(n 1) n 是行数 从第1行开始，奇数行第5列各行第1个数字是5+4(n 1) n 是行数,2009是奇数，2009 5=4501 所以2009恰好在第502行第1列,3000 5=4748余3 2997在749行第5列 3000在750行第2列 或3001在750行第1列，3000在该行第2列,四、如何归纳图形之中存在的规律,例5,因为第n个图形都比它第n 1个图形多出n 个“ ”和1个“ ”,即多2n+2根火柴棒,方法一 、从相邻图形的变化找规律,所以第8个图形有火柴棒 4+（22+2）+（23+2）+（28+2）=88（根火柴棒）,方法二、 从图形的整体变化找规律,则第n个大正方形有火柴棒2n(n+1)根,因原来第n个图形火柴棒比n(n+1)根多2n根，有n2 +3n根, 所以第8个图形有 82+38=88根火柴棒,方法三 、从图形的数量指标找规律,火柴棒数目 4 10 18 28,试验 ：12=1 22=4 32=9 42=16 差 3 6 9 12,差恰好都是3的倍数,所以第n个图形有火柴棒n2+3n （根） 第8个图形有火柴棒有64+24=88（根）,将“图列”转化为数列,由于从左到右数目增加较快，所以第n个图形的火柴棒数可能与n 2有关,例6 一个长方形把平面分成两部分，那么3个长方形最多 把平面分成多少部分？,画一画，试一试！通过画图不但要得出结果，更重要的是从中总结出一般的规律,第2个长方形有四条边，每条边都可以挂一下原长方形的每个角，这样就产生最多的8个交点，这8个交点自然把第2个长方形分成8段（有直的、有弯的），每段把原先的部分又多分出一个部分，新增8个，所以2+8=10（个部分），,第3个长方形的每条边现在可以挂到原有2个长方形的8个角，最多可产生16个交点，同理这16个交点把第三个长方形本身分成16段，每段穿过一个部分，又新增加16个部分， 共2+8+16=26（个部分）。,第4个长方形的每条边现在可以挂到原有3个长方形的12个角，最多可产生24个交点，同理这24个交点把第四个长方形本身分成24段，每段穿过一个部分，又新增加24个部分，共2+8+16+24=50（个部分）。,在解决类似于“一个图形，二个图形，n个图形”这样的问题时，常常需要从第一个图形开始，逐次增加图形个数，观察其中的变化，总结、归纳出变化中的规律。,第二个长方形怎样画使得到的部分最多？,基础训练,130 2（1）3，（2）7 （3）11（4）11，6 311 ， 2n1. 4（1）18，22；（2）4 n+2 5A,提高训练,1B 2解法1：从图形变化看后图 比前图都多3个，所以第20图 比第1图多3（20 1)=57个共57+3=60个,解法2：从整体变化看每图实际是三角形，每条边上星数比序号多1，所以 第20个图形有星3（20+1）- 3=60,3把满足只有两个面涂色的立方体如图：,41 +00 42+41 43+42,归纳 4n+4(n1)=8n4,提高训练,4,树枝数 1 3 8 18 38,观察图形找规律（观察相邻两图形间的关系）,从第（3）图开始每个图都是中间2个树枝，左右两边的树枝都等于 前一个图形中的树枝，即如果第n个图有m个树枝，那么第n+1个图 就有（2+2m）个树枝 所以第4个图树枝有2+28=18个，第5个图树枝有2+218=38个 第6个图树枝有2+238=78，第7个图有树枝2+278=158个,提高训练 5,首先熟悉表中的规律,第一行是连续的自然数 第2行=2第1行，第3行=3第1行，,若10在第1行，则a下的数应为113，不可能 若10在第2行，则a下的数应为64=24，不可能,然后看数字10在第几行,因10不能被3、4整除，所以它不在第3、4行,若10在第5行，则a下的数应为37=21，这时a=18 若10在第10行，则a下的数应为212=24, 不可能,所以正确答案为a=18,成就测试,1n+3 2每8个数字占2行，前48个数字占12行， 所以47应在第12行，第2列,3（1）13，