高考数学总复习]第五章平面向量与复数章末大盘点.ppt

一、数形结合思想 向量的加、减、数乘等线性运算有着丰富的几何背景，同时，向量的坐标表示又为向量运算的代数化提供了可能.因此，向量融数、形于一体，具有几何形式与代数形式的“双重身份”，自然处于中学数学知识的重要交汇点.显然，形成并自觉运用数形结合的思想方法是解决向量与其他问题的关键.,【示例1】 已知a，b是两个非零向量，|a|b|ab|，则a与ab的夹角为_,解析 如图所示，设OAa，OBb， 则BAab，OCab. 由|a|b|ab|，得OBABOAOAB60. OAB为正三角形 OAC120，COA30. a与ab的夹角为30.,答案 30,领悟 利用向量加法的平行四边形法则转化为平面几何问题，直观形象,二、等价转化的思想 等价转化的实质是将难解的问题化为易解的问题，将复杂问题化为简单的问题来处理.在本章中，可利用向量的坐标运算法则，把向量的运算转化为实数的运算，即将向量的加、减、实数与向量的积和数量积的运算，转化为实数的加、减、乘的运算.把一些几何问题的证明转化为向量的代数运算，无不体现了等价转化思想.,【示例2】 (2009上海高考)已知ABC的角A、B、C所对的边分别是a、b、c，设向量m(a，b)，n(sinB，sinA)，p(b2，a2) (1)若mn，求证：ABC为等腰三角形； (2)若mp，边长c2，角C ，求ABC的面积,解 (1)证明：mn，asinAbsinB， 即a b ，其中R是三角形ABC外接圆半径， ab. ABC为等腰三角形 (2)由题意可知mp0，即a(b2)b(a2)0. abab. 由余弦定理可知，4a2b2ab(ab)23ab， 即(ab)23ab40， ab4(舍去ab1)， S absinC 4sin ,领悟 向量的坐标表示就是把向量位置关系及有关运算转化为数的问题用代数运算研究向量问题就是等价转化思想的体现,三、函数与方程的思想 向量作为一种运算工具，与函数和方程是密切相关的.例如，向量a，b的坐标中含有参数t时，计算ab时，即把ab视为关于t的函数；解决共线向量时，则常常借助ba来确定，求的方法即利用向量相等的充要条件列出方程(组)来求解.,【示例3】 ABC中，A最大，C最小，且A2C，ac2b，求此三角形三边之比,解 ABC中，由正弦定理得 2cosC，即cosC 由余弦定理得cosC,2bac， 整理得(2a3c)(a2c2)0，解得ac或a c. AC，ac，ac不合题意 当a c时，b (ac) c， abc cc c654. 故此三角形三边之比为654.,领悟 在应用正、余弦定理解三角形时，常用到三角函数的有关公式，要注意各公式之间的内在联系，本题中求解a，c主要利用了解方程的思想，体现了余弦定理与方程的联系,答案：,1(2009辽宁高考改编)已知复数z12i，那么 _.,解析：由z12i知 12i， 于是 i.,2(2009湖北高考改编)投掷两颗骰子，得到其向上的点数分 为m和n，则复数(mni)(nmi)为实数的概率为_,解析：(mni)(nmi)2mn(n2m2)i，它为实数的等价条件是m2n2，又m，n均为正整数，mn.故问题事件所含基本事件有(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)，(5,5)，(6,6)六个，试验含有36个基本事件，所以,答案：,3.(2009全国卷改编)设非零向量a、b、c满足|a|b|c|， abc，则a，b .,解析：abc，|c|2|ab|2a22abb2. 又|a|b|c|，2abb2， 即2|a|b|cosa，b|b|2. cosa，b a，b120.,答案：120,4.(2009福建高考)若 abi(i为虚数单位，a，bR)，则 ab .,答案：2,即1iabi，a1，b1，ab2.,解析：,abi，,abi，,5.(2009湖南高考)如图，两块斜边长相等的直角三角板拼在一 起，若 则x ，y .,解析：,设 则由题意： 又BED60， 显然 与 的夹角为45. 由 (1-x) 得： 1cos45(x1)12. x +1. 同理，在 (x1) 两边与 取数量积可得y,答案：,1+,6(2010扬州模拟)已知2ab(1， )，c(1， )，且 ac3，|b|4，则b与c的夹角为_,解析：2ab(1， )，c(1， )， (2ab)c2acbc(1， )(1， )2. 又ac3，bc4，cosb，c ，所以b与c的夹角为 .,答案：,7(2010盐城模拟)已知D为ABC的边BC上的中点，ABC 所在平面内有一点P，满足PABPCP0，则 等于_,解析：由于D为BC边上的中点，因此由向量加法的平行四边形法则，易知PBPC2PD，因此结合PABPCP0即得PA2PD，因此易得P、A、D三点共线且D是PA的中点，所以 1.,答案：1,8.(2009浙江高考)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a， b，c，且满足cos =3. (1)求ABC的面积； (2)若c1，求a的值.,解：(1)因为cos 所以cosA=2cos2 -1= ,sinA= . 又由 =3,得bccosA3，所以bc5. 因此SABC bcsinA2. (2)由(1)知，bc5.又c1，所以b5， 由余弦定理，得a2b2c22bccosA20， 所以a=2,9(2009广东高考)已知向量a(sin，2)与b(1，cos) 互相垂直，其中(0， ) (1)求sin和cos的值； (2)若sin() ，0 ，求cos的值,解：(1)ab， sin1(2)cos0sin2cos. sin2cos21，4cos2cos21cos2 (0， )，cos sin,(2)法一：由sin() 有， sincoscossin sin2cos ， sin2cos25cos22cos 1 5cos22 cos 0. 解得cos ，cos 0 ，cos .,法二：0， ， . 所以cos() 故coscos() coscos()sinsin() ,10(2010南通高三调研)ABC中，角A的对边长等于2， 向量m(2,2cos2 1)，向量n(sin ，1) (1)当mn取最大值时，求角A的大小； (2)在(1)的条件下，求ABC面积的最大值,解：(1)mn2sin (2cos2 1) 2sin cos(BC) 因为ABC，所以BCA， 于是mn2sin cosA2sin2 2sin1 2(sin )2 因为 (0， )，所以当且仅当sin ，,即