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万有引力定律的发现 历史背景 德国天文学家、数学家开普勒（15711630）在第谷.布拉赫对于行星运动大量观测资料的基础上，经过对观测数据长期深入的分析，归纳出著名的所谓行星运动三定律，即： （1）各颗行星分别在不同的椭圆轨道上绕太阳运行，太阳位于这些椭圆的一个焦点上； （2）每颗行星运行过程中单位时间内太阳行星向径扫过的面积是常数； （3）各颗行星运行周期的平方与其椭圆轨道长半轴的3次方成正比。 由于当时尚没有计算变速运动的工具，而从开普勒定律可以看出行星运行速度是变化的。十七、十八世纪许多科学家致力于行星沿椭圆轨道运行时受力状况的研究，终未得到有关引力的结果。 牛顿在研究变速运动过程中发明了微积分，又以此为工具在开普勒三定律和牛顿第二定律的基础上，成功地得到万有引力定律。,模型假设 对任一行星椭圆运行轨道建立极坐标系 ,以太阳为坐标原点，长半轴方向为 ，向径 表示行星的位置。 1.轨道方程为 （1） 其中 为椭圆的长短半轴， 为离心率。 2.单位时间内向径 扫过的面积是常数 ，即 （2）,3行星运行周期 满足 （3） 4.行星运行时受的作用力 等于行星加速度 和质量 的乘积，即 （4） 模型建立 引入基向量 （5） 向径 可表示为： 。以下记 （6） 由（5）可得,(7) 由（6）、（7）两式可得 (8) (9),根据(2)式得 , (10) 于是 ，(9)式化为 (11) 对(1)式求导，并利用(10)式 的结果，得 (12) (13),把(10)、(13) 代入(11)式得 (14) 把(14)、(6)代入(4)式得 , (15) 又由(2)，行星运行一个周期 向径扫过的面积为 ，所以 (16) 由(1)、(3)、(16) 式容易算出 (17) 把(17)代入(15)式有 (18),将 写成 于是
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