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第2.4节二元函数的导数与微分,第二章 导数与微分,一、二元函数的定义,二、二元函数的偏导数运算,三、二元函数的微分,,1引例,一、二元函数的定义,例2.33 建立直圆柱体的侧面积s与其底半径r和高 h之间的关系式.由初等几何的知识就知所求的关系式为,.,,2.二元函数的定义,定义2.5 设有三个变量xyz ，且变量xy的取值范围 是平面区域D,如果对于区域D内的每一个点P(x,y,z), 变量z按照一定的法则总有确定的值与之对应，则称 变量z是变量x,y的二元函数。,定义域,而将所有函数值构成的集合称为该二元函数,,3.二元函数的几何意义,设二元函数z=f(x,y)在平面区域D上有定义，在区域D上任 取一点P(x,y),从而就得到空间中的一点M(x,y,z)当点P(x,y)在平 面区域D上变动时，点 M(x,y,z)就会在空间中变动.因此，二 元函数z=f(x,y)在空间直角坐标系中表示一张曲面.,.,,定义2.6 设二元函数f(x,y)在点(x0,y0)的邻近（不包括点) (x0,y0)有定义，如果当点（x,y）无限接近于定点(x0,y0)时， 二元函数f(x,y)总与确定的值A无限接近，则称常数A为二元 函数f(x,y)当自变量x,y趋向于点(x0,y0)时的极限.记为,或,4.二元函数的极限与连续,,定义2.7,（2） 存在；,（1）二元函数z=f(x,y)在点(x0,y0)及其附近有定义；,则称二元函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处连续,,二、二元函数的偏导数运算,定义2.8 设二元函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的附近 有定义.如果极限,存在，则称此极限值为二元函数f(x,y)在点(x0,y0)处 对自变量x的偏导数,记作,,同理，可以定义二元函数对变量y的偏导数,1.偏导数的计算,例2.34 设,求,解,.,,例2.35 设,求,解 将,.,,例2.36 设,求,解,.,,2.高阶偏导数,,例2.37设,求,解,所以,.,,3.复合函数的微分法,例2.38 设,求,解,所以将其代入(2.17)式即得,,例2.39 设,求,解,.,,三、二元函数的微分,定义2.10 设二元函数,在点,附近有定义，,在点,处的全增量,可以表示为,其中常数,与,为,的高阶无穷小量，即,则称函数,在点,处可微，,是函数,在点,处的全微分.记为,.,如果函数,,例2.40 设,求,解 由全微分的公式(2.19)可得,.,,例2.41 设,
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