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三垂线定理及逆定理 (二),复习： 什么叫平面的斜线、垂线、射影？,PO是平面的斜线, O为斜足;,PA是平面 的垂线, A为垂足;,AO 是PO在平面内的射 影.,三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的 一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。,1、三垂线定理描述的是PO(斜线)、AO(射 影)、a(直线)之间的垂直关系。,2、a与PO可以相交，也可以异面。,3、三垂线定理的实质是平 面的一条斜线和平面内 的一条直线垂直的判定定理。,对三垂线定理的说明：,三垂线定理,例题分析：,例1、判定下列命题是否正确,(1)若a是平面的斜线、直线b垂直于a在平面 内的射影，则ab。 ( ),2定理的关键:找一个平面（基准面）,强调：1四线是相对同一个平面而言,(2)若a是平面的斜线，b是平面内的直线， 且b垂直于a在内的射影，则ab。 ( ),三垂线定理,例2: 如图,在ABC中,ACB=90,AB=8,BAC=60, PC平面ABC,PC=4,M为AB边上一个动点,求PM的最小值。,由三垂线定理知PHAB 即点M在H时PM最小,解：作CHAB于H，连PH,在ABC中，易求得CH=2 则在RTPCH中，PH=2 即PM的最小值为2, PC平面ABC,例3、如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，连结BD1， AC，CB1，B1A，求证：BD1平面AB1C,BD1AC,BD1平面AB1C,证明：连结BD，,连结A1B,三垂线定理,ABCD是正方形，ACBD,又DD1平面ABCD,BD是斜线BD1在平面ABCD上的 射影,而A1B是BD1在平面 ABB1A1内的射影 BD1AB1,关于三垂线定理的应用，关键是找出平面(基准面)的垂线。至于射影则是由垂足、斜足来确定的，因而是第二位的。,利用三垂线定理证明ab的一个程序：一垂、二射、 三证。,第一、找平面(基准面)及平面垂线,第二、找射影线，这时a、b便成平面上的一条直线与 一条斜线。,三垂线定理,第三、证明射影线与直线a垂直，从而得出a与b垂直。,反过来,如果 a PO ,是否有 aAO?,三垂线定理的逆定理: 在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线垂直,那么这条直线和斜线的射影垂直.,例4 四面体P-ABC中,PABC,PBAC,求证PCAB,解:过P作PH面ABC，,连AH延长交BC于E，连BH延长交AC于F,PH平面PBC, PABC, 而PA在面ABC内的射影为AH, 由三垂线定理的逆定理知BCAH,三垂线定理,则H为ABC的垂心,同理可证BFAC,连CH延长交AB于G，于是CGAB,而CH是PC在面ABC的射影 故PCAB,请你解决一个实际问题： 道旁有一条河，彼岸有电塔AB，高15m，只有水平测角器和皮尺作测量工具，能否求出电塔顶与道路的距离？（假设塔基B、道路处于同一水平面）,三垂线定理,三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。,小 结,3操作程序分三个步骤“一垂二射三证”,1定理中四条线均针对同一平面而言,2应用定理