《随机信号分析》PPT课件.pptVIP

第4章 随机信号通过线性系统,引言 在许多学科中，关于系统输入输出关系的描述是非常重要的。系统的输入可能有各种不同的形式，然而一般来说，系统的输入总是被认为是对系统的某种激励，而系统的输出则被看成系统的响应。系统的描述可以有许多不同的方法。例如，系统的输入和输出可以经由微分方程、传递函数或冲激响应联系起来。当系统的输入是随机过程的某个样本时，则系统的输出信号可以通过系统的定义来求得，输入随机过程的每一个样本都会在系统的输出产生一个输出信号。按照这种方式，实际上存在,一个输入输出的映射，即通过控制一个输入随机过程，可以得到一个输出的随机过程。 本章的基本问题：如何根据线性系统的输入随机信号的统计特性及该系统的特征，确定该系统输出的统计特性。在此基础上，我们将给出等效噪声带宽的概念，产生色噪声的方法和设计白化滤波器的方法最后一节将讨论线性系统输出端概率分布的计算问题。,4.1 线性系统的基本理论 4.1.1 线性时不变系统,连续时间系统,离散时间系统,双侧系统,单侧系统,双侧信号,单侧信号,线性系统,时不变系统,连续时不变线性系统,1）输入输出关系法,2）常微分方程法,3）状态变量法,系统输出响应的分析,1）卷积积分法或卷积求和法,2）微分或差分方程法,3）状态变量法,4.1.2 连续时不变线性系统,设x(t)是连续时不变线性系统的输入，则该系统的输出由卷积积分得到,如果,即傅里叶变换存在,传递函数,h(t)与H()构成一对傅里叶变换对,如果Y()是输出y(t)的频谱，则有,在复频率面上表示为,H(s)与h(t)是一对拉氏变换,如果系统单位冲击响应,对于因果系统来说,4.2 随机信号通过连续时间系统的分析,理论上，根据输入随机信号的完全统计特性，就能确定一个已知线性系统输出的完全统计特性。由于所需要的计算复杂性，通常这是一件困难的事情。然而，确定线性系统输出端的均值和相关函数却是相对容易的。在给定系统的条件下，输出均值、相关函数和功率谱密度仅取决于输入均值、相关函数和功率谱密度，不依赖于输入随机信号的其它统计特性 在许多实际应用中，用输出的均值、相关函数及功率谱密度解决所处理的问题，基本满足要求。,4.2.1 时域分析法,对应于随机信号X(t)某个实验结果的样本函数x(t, )，得到相应试验结果的输出,积分是否存在？,积分是否存在即上式是否收敛？,收敛条件为：1）连续时不变系统是稳定的；2）输入信号的所有样本函数都是有界的。则可以证明上式在均方意义下收敛，即积分在均方意义下存在。,一、输出的表达式,二、输出的均值,输入随机信号的均值已知，求取输出均值。,三、系统输入与输出之间的互相关函数,同理,四、系统输出的自相关函数,五、系统输出的高阶矩,4.2.2 系统输出的平稳性及其统计特性的计算,X(t)具有平稳性和遍历性，系统输出相应在t=0时已经处于稳态，则系统输出端：,1、若输入X(t)具有宽平稳性，系统输出Y(t)也具有宽平稳性，且输入与输出联合宽平稳。,证明：X(t)宽平稳，则,一、双侧随机信号,则输出均值为,输入输出互相关函数为,输出相关函数为,输出的均方值,输入输出均值的关系,输入输出间互相关函数的关系,输出自相关函数为,输出的均方值（总平均功率）,卷积的形式可表示为,2、若输入X(t)是严平稳的，则输出Y(t)也是严平稳的。 证明：,输出Y(t+)和输入X(t+)联系方式与Y(t)和X(t)的联系方式是一致的。X(t)严平稳， X(t+)与X(t)具有相同的n维概率密度，因而Y(t+)与 Y(t)也具有相同的n为概率密度，即Y(t)是严平稳的。,3、若输入X(t)是宽遍历性的，则输出Y(t)也是宽遍历性的。,证明：由X(t)的宽遍历性定义,输出Y(t)的时间平均为,时间相关函数为,例4.1 如图所示低通RC电路，已知输入信号X(t)是宽平稳的双侧随机信号，其均值为常数，求输出均值。,解：电路冲击响应为,输出均值为,电路直流增益为1,例4.2 上题中X(t)是相关函数为 的白噪声， 求输出的自相关函数；输出的平均功率；输入与输出的自相关函数。,解：输出的自相关函数为,对于白噪声输入的情况，输出的自相关函数正比于单位冲激响应函数的卷积。,当0时,相关函数为偶函数，0时,输出自相关函数为,输出的平均功率为,f为电路的半功率带宽,b为时间常数的倒数,输出平均功率可以表示为,输出功率与带宽存在线性关系,输入输出互相关函数为,同理,测量线性系统单位冲击响应的方法,若输入X(t)是遍历的，则Z(t)也将是遍历的，Z(t)的直流分量与均值相同,在平稳的情况下,例4.3 如图所示低通RC电路，已知输入信号X(t)是宽平稳的双侧随机信号，其自相关函数为,求输出的自相关函数。,解：,当0时,由于相关函数为偶函数,当时,与白噪声输入时情况相同,例4.3中的相关函数可以进一步表示为,二、双侧随机信号,当X(t)是宽平稳的，则有,例4.4 如图所示低通RC电路，已知输入信号X(t)是宽平稳的白噪声，相关函数为,，在t=0时刻加入系统，求输出的自相关函数和平均功率。,解：,输出自相关函数为,输出平均功率为,例4.5 如图所示电路，开关K长时间的开着。当t=0时，开关K闭合。X(t)为单位白高斯电压源，求t0时电容器两端电压的平均功率。,解：开关K闭合前电路的单位冲激响应为,电容器两端电压的平均功率为,开关K闭合时，系统的微分方程为,初始条件是V(0)，零输入相应为,t0时，电容两端的平均功率为,均方值是时间的函数，非平稳。,4.2.3 频域分析法 一、系统输出的均值,二、系统输出的功率谱密度,可以确定系统的幅频特性,三、系统输入与输出间的互谱密度,可以确定系统的传递函数,线性系统的传递函数可以表示为,系统的相频特性如何表示？,输入输出互功率谱可以表示为,则有,相频特性可以表示为,输出功率谱密度也可以表示为输入与输出间互谱密度的形式,上式用复频率(s