条件概率与乘法公式.pptVIP

,第四节,条件概率与乘法公式,在解决许多概率问题时，往往需要在有某些附加信息(条件)下求事件的概率.,一、条件概率,1. 条件概率的概念,如在事件B发生的条件下求事件A发生的概率，将此概率记作P(A|B).,一般 P(A|B) P(A),P(A )=1/6，,例如，掷一颗均匀骰子，A=掷出2点，,B=掷出偶数点，,P(A|B)=？,已知事件B发生，此时试验所有可能结果构成的集合就是B，,于是P(A|B)= 1/3.,B中共有3个元素，它们的出现是等可能的，其中只有1个在集A中，,容易看到,P(A|B),P(A )=3/10，,又如，10件产品中有7件正品，3件次品，7件正品中有3件一等品，4件二等品. 现从这10件中任取一件，记,B=取到正品,A=取到一等品，,P(A|B),P(A )=3/10，,B=取到正品,P(A|B)=3/7,本例中，计算P(A)时，依据的前提条件是10件产品中一等品的比例.,A=取到一等品，,计算P(A|B)时，这个前提条件未变，只是加上“事件B已发生”这个新的条件.,这好象给了我们一个“情报”，使我们得以在某个缩小了的范围内来考虑问题.,若事件B已发生, 则为使 A也发生 , 试验结果必须是既在 B 中又在A中的样本点 , 即此点必属于AB. 由于我们已经知道B已发生, 故B变成了新的样本空间 , 于是 有(1).,设A、B是两个事件，且P(B)0,则称 (1),2. 条件概率的定义,为在事件B发生的条件下,事件A的条件概率.,3. 条件概率的计算,P(B)0,例1.一个家庭中有两个小孩，已知其中有一个是 男孩，问：另一个也是男孩的概率是多少？ 若已知第一胎是男孩，则第二胎也是男孩的 概率？,由条件概率的定义：,即 若P(B)0,则P(AB)=P(B)P(A|B) (2),而 P(AB)=P(BA),二、 乘法公式,若已知P(B), P(A|B)时, 可以反求P(AB).,将A、B的位置对调，有,故 P(A)0,则P(AB)=P(A)P(B|A) (3),若 P(A)0,则P(BA)=P(A)P(B|A),(2)和(3)式都称为乘法公式, 利用 它们可计算两个事件同时发生的概率,可推广到n个事件,例如 甲、乙两厂共同生产1000个零件，其中300件是乙厂生产的. 而在这300个零件中，有189个是标准件，现从这1000个零件中任取一个，问这个零件是乙厂生产的标准件的概率是多少？,所求为P(AB).,甲、乙共生产 1000 个,189个是 标准件,设B=零件是乙厂生产,A=是标准件,所求为P(AB) .,设B=零件是乙厂生产,A=是标准件,若改为“发现它是乙厂生产的, 问它是标准件的概率是多少?”,求的是 P(A|B) .,B发生, 在P(AB)中作为结果; 在P(A|B)中作为条件.,例2. 设某种动物由出生算起活到20年以上的概率为0.8，活到25年以上的概率为0.4. 问现年20岁的这种动物，它能活到25岁以上的概率是多少？,解：设A=能活20年以上，B=能活25年以上,依题意， P(A)=0.8, P(B)=0.4,所求为P(B|A) .,见书中P17例1.4.2,一场精彩的足球赛将要举行， 5个球迷好不容易才搞到一张入场券. 大家都想去,只好用抽签的方法来解决.,5张同样的卡片，只有一张上写有“入场券”，其余的什么也没写. 将它们放在一起，洗匀，让5个人依次抽取.,“先抽的人当然要比后抽的人抽到的机会大. ”,后抽比先抽的确实吃亏吗？,到底谁说的对呢？让我们用概率论的知识来计算一下,每个人抽到“入场券”的概率到底有多大?,“大家不必争先恐后，你们一个一个 按次序来，谁抽到入场券的机会都 一样大.”,“先抽的人当然要比后抽的人抽到的机会大。”,例3.设10件产品中有4件不合格 品,现从中连续抽取两次,每次 一件,问第二次取到合格品的 概率为多少?,三.全概率公式:,特别，n=2时，A1 和A2就是对立事件。,设A1,A2,An是两两互斥的事件，且P(Ai)0， i =1,2,n, 另有一事件B, 它总是与A1, A2, ,An之一同时发生，则,定理1.4.2(全概率公式),例4.某车间有三台设备生产同一型号 的零件,每台设备的产量分别占车间 总产量的25%,35%及40%.如果各台 设备的废品率分别为0.05,0.04及0.02, 今从全车间生产的零件中任取一件, 求此件是废品的概率为多少?,思考：例5.在上例中,若从全车间生产的零件中任取一件,经检验是废品,问该废品来自哪台设备生产的可能性较大?,该公式于1763年由贝叶斯(Bayes)给出. 它是在观察到事件B已发生的条件下，寻找导致B发生的每个原因的概率.,定理1.4.3 (贝叶斯公式)：,设A1,A2,An是两两互斥的事件，且P(Ai)0，i=1,2,n, 另有一事件B，它总是与A1,A2,An 之一同时发生，则,贝叶斯公式在实际中有很多应用，它可以帮助人们确定某结果（事件 B）发生的最可能原因.,经常称上述的P(A1)，,例 6 某一地区患有癌症的人占0.005，患者对一种试验反应是阳性的概率为0.95，正常人对这种试验反应是阳性的概率为0.04，现抽查了一个人，试验反应是阳性，问此人是癌症患者的概率有多大?,则 表示“抽查的人不患癌症”.,已知 P(C)=0.005,P( )=0.995, P(A|C)=0.95, P(A| )=0.04,求解如下:,设 C=抽查的人患有癌症， A=试验结果是阳性，,求P(C|A).,现在来分析一下结果的意义.,由贝叶斯公式，可得,代入数据计算得: P(CA)= 0.1066,2. 检出阳性是否一定患有癌症?,1. 这种试验对于诊断一个人是否患有癌症 有无意义？,如果不做试验,抽查一人,他是患者的概率 P(C)=0.005,患者阳性反应的概率是0.95，若试验后得阳性反应，则根据试验得来的信息，此人是患者的概率为 P(CA)= 0.1066,说明这种试验对于诊断一个人是否患有癌症有意义.,从0.005增加到0.1066,将近增加约21倍.,1. 这种试验对于诊断一个人是否患有癌症 有无意义？,2. 检出阳性是否一定患有癌症?,试验结果为阳性,此人确患癌症的概率为 P(CA)=0.1066,即使你检出阳性，尚可不必过早下结论你有癌症，这种可能性只有10.66% (平均来说，1000个人中大约只有107人确患癌症)，此时医生常要通过再试验来确认.,例7设有三张形状完全相同但所涂颜色不同 的卡片，第一张两面都是红色，第二张两面 都是黑色，第三张一面红一面黑。将三张卡 片放在帽子里充分混合后，随机地取一张放 在地面上，若取出的卡片朝上一面呈红色， 那么另一面是黑色的概率是多少？,贝叶斯公式,在贝叶斯公式中，P(Ai)和P(Ai |B)分别称为 原因的验前概率和验后概率.,P(Ai)(i=1,2,n)是在没有进一步信息（不知道事件B是否发生）的情况下，人们对诸事件发生可能性大小的认识.,当有了新的信息（知道B发生），人们对诸事件发生可能性大小P(Ai | B)有了新的估计.,在不了解案情细节(事件B) 之前，侦破人员根据过去 的前科，对他们作案