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第三章 随机变量的数字特征,随机变量的方差,第三讲,2、随机变量的方差,例 甲乙二人射击，X：甲击中的环数；Y：乙击 中的环数。他们命中环数的分布律分别为,试问怎样评价他们的射击水平?,从射击的平均命中环数已无法区分，怎么办呢？,按定义，随机变量X的方差表达了X的取值与其数 学期望的偏离程度。若D(X)较小意味着 X 的取值 比较集中在E(X)附近，反之，若D(X)较大则表示 X 的取值较分散。因此D(X)是刻画 X 取值分散程 度的一个量。,1、方差的定义,（1）若离散型随机变量X 的分布律为,则,（2）若连续型随机变量X 的概率密度为 f (x),则,随机变量X的方差还可按下面公式计算,即X的方差等于X2的期望减掉X期望的平方。,解：,例1 甲乙二人射击，X：甲击中的环数；Y：乙击 中的环数。他们命中环数的分布律分别为,求D(X)，D(Y),说明乙的射击水平比甲稳定,例2 设随机变量X服从(01)分布，求D(X),解：,例3 设 X 服从 (a,b)上的均匀分布，即密度函数,求 X 的方差。,解：,例4 设随机变量X服从指数分布，概率密度为,求 X 的方差。,解：,由第一讲知,2、方差的性质,(1) 设C为常数，则D(C)=0,(2) 设X是一随机变量，C为常数，则有,D(CX)=C2D(X),(3) 设X、Y是两个随机变量，则有,D(X + Y)=D(X) + D(Y)+2E(X-E(X)(Y-E(Y),特别，若X、Y相互独立，则有,D(X+C)=D(X),此性质可推广到有限个相互独立随机变量之和 的情况。,例5 求二项分布随机变量 X 的方差,解：,二项分布随机变量 X 表示 n 次独立试验中 成功的次数,由(01)分布知,解：,标准正态随机变量 X 的概率密度函数为,先求 XN(0,1) 的E(X)，D(X),例6 若 XN( ) ，求E(X)，D(X),3、切比谢夫不等式,切比谢夫不等式的另一形式为,这个不等式给出了随机变量X 的分布未知情况 下，估计出 X 落在以下区间的概率,例如：在上面不等式中，取,或,这个估计是比较粗糙的。,有,常见随机变量的期望与方差,小 结:,1 随机变量 X 的方差,2 方差的计算,3 方差的性质,D (a X + b)=a2 D(X) a , b为常数,若 X，Y 独立，则
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