概率论与数理统计习题课.ppt

,第三章 习题课,一、二维随机向量概率分布的描述方式,1、联合概率函数与边缘概率函数,2、联合密度函数与边缘密度函数,3、联合分布函数与边缘分布函数,1、联合概率函数与边缘概率函数, 联合概率,边缘概率, 联合概率函数的性质,正定性:,归一性:, 联合概率与边缘概率的关系,即已知联合概率,如何求边缘概率?,方法:把联合概率列成二维表的形式， 然后逐行累加,逐列累加。,判断题,对于离散型二维随机向量，(X,Y)的联合 概率 和边缘概率 一定有,( ),对,如果(X,Y)的分布列为,则其中c可以是任意常数。,( ),错,填空题,设随机变量X与Y的联合分布为,则 如果X与Y相互独立，则, 设X与Y相互独立且同服从参数 的0-1分布， 则,2、联合密度与边缘密度, 联合密度,边缘密度, 联合密度函数的性质,正定性:,归一性:, 联合密度与边缘密度的关系:,即已知联合密度,如何求边缘密度?,方法:联合密度对其中一个变量积分，得 关于另一个变量的边缘密度，即, 对于连续型二维随机变量(X,Y)的联合密 度 f (x, y) 和边缘密度 一定有,( ),判断题,对,( ), 如果 则,对,交换积分次序, 设(X,Y)服从区域D上的均匀分布，其中 , 则,填空题, 设(X,Y)的密度函数为,则,设(X,Y)服从区域D上的均匀分布，其中D由曲线,及直线 围成，则(X,Y),的关于X的边缘密度在 点的值为_.,3、联合分布函数与边缘分布函数, 联合分布函数,边缘分布函数,联合分布函数的概率意义,y,o,(x, y),x,联合分布函数的概率意义:,求矩形区域上概率的两种方法：, 联合分布函数的性质,规范性,单调不减性,右连续性,设（X，Y）的分布函数为,则常数,联合分布函数与边缘分布函数的关系,即已知联合分布函数,如何求边缘分布函数?,方法:在联合分布函数中，令其中一个变量趋于正无穷求极限，得关于另一个变量的边缘分布函数，即,9.已知二维随机向量(X,Y)的分布函数为,求 常数A； 关于X、Y的边缘分布函数； ,解： ,已知联合分布函数,可以求出边缘分布函数.,反过来,已知边缘分布,可否求出联合分布呢?,一般来说,光知道X和Y的边缘分布函数,是求不出(X,Y)的联合分布函数的。,因为联合分布中还蕴含着X和Y之间的关系。你必须提供这种关系，我才能写出联合分布。,对于联合概率函数和联合密度函数也是一样的。,例如 对于二维正态分布,可得,但是，反过来，由,能得到,由, 联合密度函数与联合分布函数的关系,联合分布函数是联合密度函数的二次变上限积分,联合密度函数是联合分布函数的二阶混合偏导数,12设(X,Y)的密度函数为,求 (1) 常数a；(2)联合分布函数,解,（）,当x0或y0时,当x0,y0时,随机向量的独立性,1、独立的三个充分必要条件,2、一个有用的结论,若 X 与 Y 相互独立，则它们的连续函数g (X)与 h (Y) 也相互独立。, 如果 则,( ), 如果X与Y相互独立，且 则(X,Y)服从区域 上的均匀分布。 （ ）, 设 则,( ),二维随机向量函数的概率分布,1、离散型,2、连续型,方法:列表法或代数式法,方法:分布函数法,加一道例题,二维随机向量的数字特征,一、期望向量与方差向量,二、函数的期望,（离散型）,（连续型）,变函数不变分布,不必求X 的边缘分布,若(X,Y )为二维离散型随机变量，则,若(X,Y )为二维连续型随机变量，则,直接由联合分布求X的期望,如果EX，EY都存在，则,( ),三、期望和方差的性质,一维：,二维：,1. E(X+Y) = EX+EY,2. E(XY)=EXEY,独立,独立,独立,如果 则X与Y相 互独立。 （ ）,设随机变量 相互独立，其中 服从参数,的指数分布，,令 则,四、协方差,1、协方差的计算公式,离差的乘积的期望,乘积的期望减期望的乘积,8. 若X与Y相互独立，则 Cov(X,Y) 0,6. Cov(X+Y, X-Y) =DX-DY,7. D(XY) = DX+DY2Cov(X, Y),4.Cov(X+a, Y+b) = Cov(X, Y),5. Cov(X+Y, Z) = Cov(X, Z)+Cov(Y, Z),1. Cov(X, Y)= Cov(Y, X),3. Cov(aX, bY) = ab Cov(X, Y),2. Cov(X, X)= DX, Cov(Y, Y)=DY,2、协方差的性质, （ ）, （ ）,若 则X与Y相互独立. （ ）,五、相关系数,1、相关系数的计算,2、相关系数的性质,独立,3、相关系数的意义,相关,不相关,正相关,负相关,有一定的相关关系，且 越大,相关程度越大,4、独立与不相关的关系,独立一定不相关,不相关不一定独立,若X与Y不相关，则 ( ),设任取n件产品，其中次品数为X，正品数为Y，则 X与Y的相关系数为-1。 （ ）,设X与Y同分布且方差存在，则X+Y与X-Y不相关。 （ ）,二维正态分布,1二维正态分布的两个边缘分布均为 一维正态分布。,3若 ,则,（a、b不全为零）,设 则,( ),如果X与Y相互独立，且都服从正态分布，则X+Y一定 服从正态分布。 （ ）,二维正态分布的边缘分布一定为正态分布。 ( ),二维均匀分布的边缘分布也是一维均匀分布。( ),已知 且X与Y相互独立， 则,中心极限定理,定理.13（林德伯格列维中心极限定理）,定理 3.14 (棣莫佛拉普拉斯中心极限定理）,定理.12（李 雅普诺夫中心极限定理）,大量的独立的微小的随机变量之和渐近正态分布,独立同分布的随机变量序列之和渐近正态分布,当n充分大时,二项分布以正态分布为极限分布,在实际计算中,定理 3.14以下面两个定理的形式应用:,1.局部极限定