调性与最大(小)值.ppt

1.3.1 单调性与最大（小）值,观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律：,1、观察这三个图象，你能说出图象的特征吗？ 2、随x的增大，y的值有什么变化？,问题1,画出f(x)=x的图像，并观察其图像。,2、在区间 _上，随着x的增大，f(x)的值随着 _.,1、从左至右图象上升还是下降 _?,上升,增大,1、在区间 _ 上，f(x)的值随着x的增大而 _.,问题2,画出 的图像，并观察图像.,2、 在区间 _ 上，f(x)的值随着x的增大而 _.,(-,0,(0,+),减小,增大,函数单调性的概念：,一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数,如图1 .,1增函数,一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2 ，当x1f(x2) ，那么就说f(x)在区间D上是减函数 ,如图2.,1、函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质.,2 、必须是对于区间D内的任意两个自变量x1，x2；当x1f(x2) 分别是增函数和减函数.,对于函数y= f(x) ，若在区间 I 上，当x1时, y1; 当 x2时, y3 , 能说在区间 I 上函数值 y 随自变量 x的增大而增大吗?,如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间.,函数的单调性定义,例1.下图是定义在 闭区间-5,5上的函数y=f(x)的图象,根据图象说出y=f(x)的单调区间,以及在每个单调区间上, y=f(x)是增函数还是减函数?,解:函数y=f(x)的单调区间有-5,-2),-2,1),1,3),3,5, 其中y=f(x)在区间-5,-2),1,3)上是减函数, 在区间-2,1),3,5上是增函数.,用定义证明函数单调性的步骤是：,（1）取值,（2）作差,（4）定号,（5）结论,根据单调性的定义得结论,即取 是该区间内的任意两个值且,即求 （3）变形 通过因式分解、配方、有理化等方法,即根据给定的区间和 的符号来确定 的符号,例2 求证：函数 在区间 上是单调增函数,画出反比例函数 的图象 1 这个函数的定义域是什么？ 2 它在定义域I上的单调性怎样？证明你的结论,xx0,分两个区间(0，+)，（- ，0）来考虑其单调性.,（2）在区间（- ，0）上，同理可得到函数f(x)=1/x 在（- ，0）上是减函数。,下列两个函数的图象：,观 察,f(x) M,(0)=1,2、存在0，使得(0)=1.,1、对任意的 都有(x)1.,1是此函数的最大值,知识要点,M是函数y= f (x)的最大值（maximum value）：,一般地，设函数y= f (x)的定义域为I，如果存在实数M满足： （1）对于任意的x I，都有f (x) M; （2）存在 ，使得 . 那么，我们称M是函数y= f (x)的最大值,一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果实数M满足： （1）对于任意的的xI，都有f(x) M; （2）存在 ，使得 ， 那么我们称M是函数y=f(x)的最小值（minimun value）.,是,函数f(x)在定义域中既有最大值又有最小值.,探究:函数单调性与函数的最值的关系,（1）若函数y=f (x)在区间m，n (mn)上单调递增，则函数y=f (x)的最值是什么？,O,x,y,当x=m时，f (x)有最小值f (m)，当x=n时,f (x)有最大值f (n).,(2)若函数y=f(x)在区间m，n上单调递减，则函数y=f(x)的最值是什么？,O,x,y,当x=m时，f (x)有最大值f (m)，当x=n时，f(x)有最小值f (n).,(3)若函数 则函数y=f(x)在区间m,n上的最值是什么？,O,x,y,最大值f (l)=h，有最小值f (m), f (n)中较小者.,解：做出函数 的图像。显然，函数图像的顶点就是烟花上升的最高点，顶点的横坐标就是烟花爆裂的最佳时刻，纵坐标就是这时距地面的高度.,所以，烟花冲出1.5s是它爆裂的最佳时刻，此时距离地面的高度约为29m.,例5 已知函数 ，求函数的最大值与最小.,分析：由函数的图象可知道，此函数在3，5上递减。所以在区间3，5的两个端点上分别取得最大值与最小值.,解：设 是区间3，5上的任意两个实数，且 ，则,课堂小结,2、函数单调性的定义；,3、证明函数单调性的步骤；,1、单调函数的图象特征；,4、函数的最值：,最大值,最小值,5、函数的最值的求法,（1）利用二次函数的性质（配方法）求函数的最值; （2）利用图象求函数的最值; （3）利用函数单调性求函数的