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第三节 极限的运算法则,定理,证略,1,说明：,1.,有两层意思:,(1) 在lim u和lim v都存在的前提下，,lim(u+v)也存在；,(2) lim (u+v)的数值等于 lim u+ lim v.,2. lim (u+v)存在, 不能倒推出lim u和lim v 都存在.,3. 若lim u存在,而 lim v不存在,则lim (u+v)必不存在.,4. 可推广到有限多项.,反证:,若 lim (u+v) 存在,已知 lim u 存在,由定理知 lim v 存在, 矛盾,2,推论1,推论2,例1,3,例2,解,4,解,例3,消零因子法,5,一、无穷小(量),定义,以零为极限的函数(或数列)称为无穷小(量).,例如,注:,1.无穷小是变量,不能与很小的数混为一谈;,3.零是唯一可以作为无穷小的数.,2.称一个函数是无穷小，必须指明自变量的变化趋势.,第四节 无穷小(量)和无穷大(量),6,无穷小和极限的关系:,定理 变量 y 以A为极限的充分必要条件是：变量 u 可以表示为 A 与一个无穷小量的和。即 lim u = A u = A+a ， 其中a 是无穷小 。,证略.,定理表明： 极限概念可以用无穷小量概念来描述.,无穷小量的性质：,1 有限多个无穷小量之和仍是无穷小量；,定理,2 无穷小量与有界变量之积仍是无穷小量；,3 有限多个无穷小量之积仍是无穷小量。,7,例1,解,8,例2,例3,9,二、无穷大(量),定义 如果变量u在其变化过程中|u|无限增大，则称u为无穷大(量)，记作,精确定义：,1. 无穷大量是一个变量，不可与很大很大的数 混为一谈；,2. 称函数是无穷大量，必须指明其自变量的变 化趋势。,注:,10,证,得证.,例4,11,无穷大量与无界变量的关系,(1) 无穷大量显然是无界变量；,(2) 但无界变量不一定是无穷大量。,例如数列,再如，,但它并不是无穷大量。,12,三、无穷大量与无穷小量的关系,意义 关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小的讨论.,例5,13,例6,解,所以原极限为-1；,所以,14,四、无穷小量的比较,例如,比值极限不同, 反映了两者趋向于零的“快慢”程度不同.,观察各极限,下节证,15,定义：,16,说明:,1、称一个变量为高阶或低阶无穷小，是没有意义的，只有在同一个变化过程中的两个无穷小比较时，才能说它们阶的高低或是否同阶.,2、在同一极限过程中的两个无穷小量，并不是总能比较阶的高低的.,17,例7,18,例8,证,19,例9,证,20,例10,但是，,不存在，,21,例4,解
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