学案3均值不等式.ppt

开始,学点一,学点二,学点三,学点四,算术平均值,a=b,1.如果a,bR+，那么 ，当且仅当 时，式中等号成立，这个结论通常称为均值不等式. 2.对任意两个正实数a,b，数 叫做a,b的算术平均值，数 叫做a,b的几何平均值.均值定理还可表述为：两个正实数的 大于或等于它的 . 3.两个正数的 时，它们的和有最小值；两个正数的 时，它们的积有最大值.,几何平均值,积为常数,和为常数,学点一 均值不等式,设a,bR+，试比较 的大小.,【分析】,【评析】（1）题中 分别叫做 正数a,b的调和平均数、几何平均数、算术平均数、平方平均数，由本题可得一般性结论： 调和平均数几何平均数算术平均数平方平均数； （2）此组关系应用广泛，可称作广义二元均值定理，要熟记.,下列不等式：x+ 2; 2;若0x1y,则logxy+logyx-2;若0x1y，则logxy+logyx2.其中正确的是 （ ） A. B. C. D.,C,解:,学点二 证明不等式,已知a,b,c(0,+),且a+b+c=1，求证： 9.,【证明】,【分析】欲证不等式的右边为常数9，联想到公式a+b 2 (a0,b0)的变形x+ 2(x0)的应用，故将不等式的左边进行恰当的变形.,【评析】,（1）已知a0，b0，a+b=1，求证： 4. （2）证明：a4+b4+c4+d44abcd.,解：,学点三 求最值,【分析】利用均值定理求函数的最值，需记住：两个正数的积为常数时，它们的和有最小值；两个正数的和为常数时，它们的积有最大值.,求下列函数的最值. （1）已知x0，求y=2-x- 的最大值； （2）已知x2，求y=x+ 的最小值； （3）已知0x ，求y= x(1-2x)的最大值.,【解析】,【评析】（1）利用此公式求最值，必须同时满足以下三个条件： 各项均为正数；其和或积为常数；等号必须成立. （2）应用此公式求最值时，还应注意配凑和一定或积一定，进而用公式求解.,（1）已知x0，y0，lgx+lgy=1，求z= 的最小值. （2）x0，求f(x)= +3x的最小值. （3）x3，求f(x)= +x的最大值. （4）xR，求f(x)=sin2x+1+ 的最小值.,解：,学点四 实际应用,某游泳馆出售冬季游泳卡，每张240元，使用规定：不记名，每卡每次只限1人，每天只限1次.某班有48名同学，老师打算组织同学们集体去游泳，除需购买若干张游泳卡外，每次还要包1辆汽车，无论乘坐多少名同学，每次的包车费均为40元，若使每名同学游8次，那么购买几张游泳卡最合算？每人最少交多少钱？,【分析】游泳活动的总费用包括两个方面，即包车费和买游泳卡费用，可先建立总开支y元的函数关系，再利用不等式求最值.,【评析】解应用题应注意两个问题：一是读懂题意，建立数学模型，即通过题中已知的数量关系，把应用题转化为单纯的数学问题；二是建模后求解问题，即用相关的数学知识将其解答出来.,【解析】,解：,1.如何理解均值不等式?,2.对于公式a2+b22ab以及均值不等式 ，应注意什么？,3.应用均值不等式求最值时，应注意什么？,（1）已知x,y都是正数，则 如果积xy是定值p,那么当x=y时,和x+y有最小值 ; 如果和x+y是定值S，那么当x=y时，积xy有最大值 S2. 即两个正数的积为常数时，它们的和有最小值；两个正数的和为常数时，它们的积有最大值. （2）利用此公式求最值，必须同时满足以下三个条件： 各项均为正数；其和或积为常数；等号必须成立. （3）应用此公式求最值时，还应注意配凑和一定或积一定，进而用公式求解.,1.在理解和应用定理时，要特别注意定理成立的条件，避免因条件遗漏导致解题结果错误. 2.利用两个正数的算术平均数和几何平均数的关系定理求函数的最值，是本学案内容的一个重点.这里要指出的是，应用定理解决实际问题时，使定理成立的条件不一定现成摆在那里，这就需要根据问题的需要凑配出定理成立的条件，然后再运用定理解决相关问题. 3.基本不等式及其推论主要用于证明不等式和求函数的