高等数学第六版1-1.ppt

因此，第一章是认识对象、掌握方法. 后面各章是用极限方法研究函数的各种性质，如连续性、可导性、可积性、可逐次逼近性等各种性质.,初等数学的研究对象常量,高等数学,对象变量,方法极限,函数,一、集合,1.集合,具有某种特定性质的对象的总体.,组成这个集合的对象称为该集合的元素.,（列举法）,（描述法）,集合按其所含元素有限、无限可分为有限集与无限集.,第一章 函数与极限,1. 映射与函数,2.实数与数轴：,实数系的连续性：实数的集合与数轴上点的集合一一对应.,有理数系（无理数系、实数系）的稠密性：任意两个有理数（无理数、实数）之间都有无穷多个有理数（无理数、实数）.,数集分类:,N-自然数集,Z-整数集,Q-有理数集,R-实数集,数集间的关系:,例如,不含任何元素的集合称为空集,例如,规定,空集为任何集合A的子集,3.集合的运算：,集合的并：,集合的交：,集合的差：,集合的直积：,集合的余集（补集）：(P2),如在实数集R中，,集合的并、交、余的运算法则(P3),注：考察余集必须指明全集,4.区间:,是指介于某两个实数之间的全体实数.这两个实数叫做区间的端点.,称为开区间,称为闭区间,称为半开区间,称为半开区间,有限区间,无限区间,区间长度的定义:,两端点间的距离(线段的长度)称为区间的长度.,5.邻域:,6.绝对值:,运算性质:,绝对值不等式:,（三角不等式）,7.一个常用不等式,二、映射(自学)（P5-P7),记作,集合X称为映射f的定义域,三、函数,1.函数概念,定义,因变量,自变量,定义域,注: 1. 以上定义的函数也称为单值函数;,函数的两要素:,定义域与对应法则.,约定: 如无特别指出，定义域是自变量所能取的 使算式有意义的一切实数值（自然定义域）.,函数的图形:,注意：构成函数的这两个要素 是判别两个函数是否为同一个 函数（或者说相等）的依据.,(2) 符号函数,几个特殊的函数举例,(1) 绝对值函数,阶梯曲线,(3) 取整函数 y=x x表示不超过 的最大整数,(4) 狄利克雷函数,如:5.3=5, -4.5= -5.,(5) 取最值函数,(5) 取最值函数,复习,邻域:,取整函数 y=x x表示不超过 的最大整数,函数的两要素:,定义域与对应法则.,例1,脉冲发生器产生一个单三角脉冲,其波形如图所示,写出电压U与时间 的函数关系式.,解,单三角脉冲信号的电压,例2,解,故,例3 解下列各题,2.函数关系的建立,1. 函数的列表表示：某公司一年中月销售额统计,2. 函数的图像表示：某气象观察点24小时气温观察资料图,3. 函数关系的解析式表示：某人从美国到加拿大去旅游，他把美元换成加拿大元时币面数值增加了12%，回国时又把加拿大元换成美元，币面数值减少12%，把两次兑换后的币面数值用函数表示出来。这样两种兑换方式产生的函数是否互为反函数？,3.函数的几种特性,(1)函数的有界性,(下),(下),有上界,有下界,有界,无界,易证:,(2)函数的单调性,减少,(3)函数的奇偶性,偶函数,奇函数,(4)函数的周期性,（通常说周期函数的周期是指其最小正周期）.,4.函数的初等运算,(1)函数的四则运算,(2)复合函数,定义,注意:,a.不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数的;,b.复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成；,c.复合运算不满足交换律,例7,解,复合函数的求法（代入法，分析法）,1、代入法,例8,解,2、分析法（关键抓住最外层函数定义域的区间段）,综上所述,(3)反函数运算,(c)直接函数与反函数的图形关于直线 对称.,5.基本初等函数与初等函数,基本初等函数（6类）：常值函数、幂函数、 指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数.,1.常值函数,2.幂函数,3.指数函数,4.对数函数,5.三角函数,正弦函数,余弦函数,正切函数,余切函数,正割函数,余割函数,6.反三角函数,初等函数 由基本初等函数经过有限次四则 运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用 一个式子表示的函数,称为初等函数.,基本初等函数（6类）: 常值函数、幂函数、 指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数.,问题: 分段函数是否为初等函数?,一般不是.但,双曲函数与反双曲函数(P17-20),奇函数.,偶函数.,双曲函数:,奇函数,有界函数,双曲函数常用公式,反双曲函数:,奇函数,奇函数,小 结,基本概念 集合, 区间, 邻域, 绝对值.,映射的概念、函数的概念.,函数的初等性质 有界性、单调性、奇偶性、周期性.,函数的初等运算 四则运算、复合运算、反函数运算.,基本初等函数，初等函数,代数函数: 由自变量及常数