大禹娟姐的极限连续.ppt

第二节 数列极限的定义,一、概念的引入,割圆术：,正六边形的面积,正十二边形的面积,正 形的面积,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,刘徽,数列: 按照某一个法则，对于每一个正整数 n，都对应一个 确定的实数 xn，那么这些 xn按下标从小到大依次排成一个 序列,称为数列，简记为 , 称为一般项, 或第 n 项。,如:,二、数列的定义,注：(1) 数列可看作是自变量为正整数 n 的函数：,对数列要讨论的重要问题是:当 n 无限增大时 ,对应的 是否会有一个确定的变化趋势？即 能否无限趋近于某个确定的数值? 若能, 这个值等于多少?,(2) 从几何上来看，数列可看作是数轴上的一串 动点.,例如（1） ：当 n 愈来愈大时, 愈来愈小,所以 当 n无限增大时, 无限趋近于 0 .,（3） :当 n 愈来愈大时，其趋势一直向右趋于无穷远.,（2） :当 n 愈来愈大时，动点在原点附近跳跃 变化，但与原点的距离 愈来愈小,其无限 趋于0 .,（4） :当 n 愈来愈大时,没有一个固定的变化趋势.,当 n 无限增大时,xn的变化趋势有:,趋于一个定数,趋于无穷远,或,(*如果数列没极限,就说数列是发散的),注: (1)几何解释:即任意给定 ,就得到 在 中总可以找到一项 ,使得 N 项后的所有 项都落在 内,而至多有限项落在此邻域外.,例 1 利用极限定义 证明：,（2） 的任意性， 的相应性. 只依赖 而变,（1）,（3）设 则,（2）,（4）,二、 收敛数列的性质,定理1 (唯一性) 收敛数列的极限是唯一的.,证: 设 ,且不妨设,对于 0,N+ ,当 时,有,N+, 当 时,有,取 ,则当 时,有 , ,即,矛盾，所以定理得证.,定义:数列 有界：,则称 有界, 否则无界。,对于 都有,定理2 (有界性) 收敛的数列一定有界.,定理得证.,证： 设,取,即有,所以 ，当 时有,则对一切 都有,注 (1) 有界是数列收敛的必要条件.,如,(2) 数列若无界, 则一定发散.,定理3（保号性）设 0，则 ，当 时，有,注 特别地对于介于0与a之间的任意实数b，均 存在N, 当nN时，有,注: 若,定理3（保号性）设 0，则 ，当 时，有,三、无穷小数列,定义 若 ，则称 是当 时的无穷小量。,1、无穷小与函数极限的关系,定理5 有限个无穷小的和还是无穷小.,2、无穷小的运算,定理6 有界函数与无穷小的乘积是无穷小。,设有数列 和 ，如果,则,1 ),2 ),3 ) 当 时,定理7 数列极限的运算法则,定理8 (夹逼准则) 如果 ， 及 满足下列条件：,（1）,（2）,则数列 的极限存在, 且,例2,解,由夹逼定理得,例 3 证明,例4 求,c,例5,四、 子数列,注意:在子数列 中,一般项 的下标 表示原数列的第 项,而 表示该项为子数列的第 项, 显然 .,定义 在数列 中任意选取无限多项,按下标从小到大排成一列,记作 则称数列 为数列 的一个子数列.,收敛数列与子数列的关系,于是,所以,定理 9 收敛于