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,对定积分的补充规定:,说明,在下面的性质中，假定定积分都存在，且不考虑积分上下限的大小,一、基本内容,证,（此性质可以推广到有限多个函数作和的情况）,性质1,证,性质2,性质1、2统称为线性性，即,补充：不论 的相对位置如何, 上式总成立.,例 若,（定积分对于积分区间具有可加性）,则,性质3（区间可加性）,证,性质4,性质5,证,性质5的推论：,证,（1）,命题 设,上连续、非负,证,由连续性和极限的局部保号性，,为区间端点时类似证明（取单侧邻域）.,将性质5加强便得到如下命题：,且不恒为零，,解,令,于是,推论：,证,说明：,性质5的推论：,（2）,但反之不真，如,在0,1上不可积.,证,（此性质可用于估计积分值的大致范围）,性质6(估值定理),解,解,证,注意到上式三项都是常数，立即得证前一结论;,性质7（积分第一中值定理）,由闭区间上连续函数的介值定理可证后一结论.,若,则结论成立.,若,特殊情况：,积分中值公式,即,积分中值公式的几何解释：,比如：,说明: (1)积分中值公式中的 与被积函数和 积分区间有关.,(2)可以证明：,解,例4 某商店在30天的销售过程中，某货架上的 商品件数由300件线性地下降到60件，试求 货架上的月平均商品件数。,解,由积分中值公式知有,使,定积分的性质,（注意估值性质、积分中值定理的应用）,典型问题,（）估计积分值；,（）不计算定积分比较积分大
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