概率论与数理统计第10讲.ppt

,概率论与数理统计 第十讲,主讲教师：杨勇,佛山科学技术学院数学系,问题的提出,在实际中，人们有时对随机变量的函数更感兴趣。如: 已知圆轴截面直径 D 的分布,4.1 一维随机变量的函数及其分布,求截面面积 的分布。,第四章 随机变量的函数及其分布,又如：已知 t=t0 时刻噪声电压 I 的分布，,求功率 W=I2R (R为电阻) 的分布等。,一般地，设随机变量 X 的分布已知，求Y = g(X) (设 g 是连续函数) 的分布。,设X是一维随机变量， g(x)为一元函数，那么Y = g(X)也是随机变量，称为随机变量X的函数。,4.1.1 离散型随机变量函数的分布,解：当 X 取值 -1，0，1，2 时， Y 取对应值 4，1，0 和 1。,由 PY=0 = PX=1=0.1， PY=1 = PX=0+PX=2 = 0.3+0.4 = 0.7， PY=4 = PX=-1 = 0.2 .,例1：设随机变量 X 有如下概率分布：,求 Y= (X 1)2 的概率分布。,得 Y 的概率分布：,把 yi 所对应的所有xk ( 即yi = g(xk) ) 的 pk相加， 记成 qi , 则 q1, q2, , qi ,就是Y = g(X) 的概率分布。,一般地，若X是离散型随机变量，概率分布为,如果 g(x1), g(x2), , g(xk), 中有一些是相同 的，把它们作适当并项即可得到一串互不相同 (不妨认为从小到大) 的 y1, y2 , yi ,.,4.1.2 连续型随机变量函数的分布,解：设 X 的分布函数为 Fx(x) ,Y 的分布函数为 FY(y)，则,例2：设随机变量X 有概率密度,求 Y = 2X+8 的概率密度。,于是Y 的密度函数,注意到,得,求导可得,当 y0 时,例3：设 X 具有概率密度fX(x)，求Y=X2的密度。,解：设Y 和X的分布函数分别为FY(y)和FX(x),注意到 Y=X2 0，故当 y0时，FY(y)=0；,若,则 Y=X2 的概率密度为：,从上述两例中可以看到, 在求P(Yy)的过程中, 关键的一步是设法从 g(X)y 中解出X,从而得到与 g(X)y 等价的X的不等式 。 例如: 用X(y-8)/2 代替 2X+8y,用 代替 X2 y 。,这样做是为了利用已知的 X的分布，求出相应的Y的分布函数 FY (y)。,这是求随机变量函数 Y = g(X) 的分布函数的一种常用方法。,下面给出一个定理，当定理的条件满足时，可直接求连续性随机变量函数的概率密度 。,定理的证明与前面的解题思路类似。,其中 x = h(y) 是 y = g(x) 的反函数，,定理1: 设 X是一个取值于区间a, b, 具有概率密度 fX(x)的连续型随机变量, 又设 y= g(x) 是在a, b上处处可导的严格单调函数, 记 (, ) 为g(x)的值域，则随机变量Y = g(X)是连续型随机变量，概率密度为,例4：设随机变量X在 (0,1) 上服从均匀分布，求 Y=-2ln X 的概率密度。,解：在区间 (0, 1) 上，,于是 y = -2ln x 在区间 (0,1) 上严格单调下降， 有反函数,由前述定理，得,注意取 绝对值,已知 X 在 (0,1) 上服从均匀分布，,代入 的表达式中,得,即Y 服从参数为1/2的指数分布。,4.2.1 离散型分布情形,4.2 二维随机变量的函数的分布,一般地，已知二维随机变量 (X,Y)的分布，求Z= g(X,Y ) (设 g 是连续函数) 的分布。,设(X,Y)是二维随机变量， g(x,y)为二元函数，那么Z= g(X,Y ) 是一维随机变量，称为二维随机变量(X,Y)的函数。,例1：若X与Y独立，且 P(X=k)=ak , k=1,2, P(Y=k)=bk , k=1,2，求 Z=X+Y 的概率分布。,解：Z可能的取值是2，3，4，于是,证明: 依题意，有,则,得,即 Z 服从参数为 的泊松分布。,设X和Y的联合密度为 f (x, y), 求 Z=X+Y 的概率密度。,因 Z =X+Y 的分布函数是: FZ(z)=P(Zz)=P(X+Y z),这里积分区域 D= (x, y): x+y z ， 是直线 x+y = z 左下方的半平面。,4.2.2 连续型分布的情形,化成累次积分, 得,固定z和y, 对方括号内的积分作变量代换, 令 x= u-y, 得,变量代换,交换积分次序,由概率密度与分布函数的关系, 即得 Z=X+Y 的概率密度,由X和Y的对称性, 知 fZ (z)又可写成,以上两式就是两个随机变量和的概率密度的一般公式。,特别地, 当X和Y独立, 设 (X,Y) 关于X, Y的边缘密度分别为fX(x) 和fY(y) , 上述两式化成:,这两个公式称为卷积公式。,下面考虑用卷积公式求 Z=X+Y 的概率密度的方法。,为确定积分限, 先找出被积函数不为零的区域,解: 由卷积公式，得,即,（如图示）,即,于是,例4: 设X和Y相互独立, 均服从标准正态分布， 求 Z=X+Y的概率密度。,解: 由卷积公式，对- z ，有,因为,于是,进一步可以证明：若X和Y 相互独立，且,这表明：Z N(0, 2) 。,例5：设某种商品在一周内的需要量是一个随机变量，概率密度函数为,如果各周的需要量相互独立，求两周需要量的概率密度函数。,解：分别用X和Y表示该种商品在第一、第二周内的需要量，则其概率密度函数分别为,两周需要量 Z=X+Y, 概率密度函数为,被积函数不为零。,当 z0 时，,因此，,当 z 0 时，,所以，Z 的概率密度为,4.2.3 M = max(X,Y) 及 N = min(X,Y) 的分布,设X，Y是两个相互独立的随机变量，分布函数分别为FX(x)和FY(y)。求 M = max (X, Y) 及N = min (X, Y)的分布函数。,再由X 和Y 相互独立，得到 M = max (X,Y) 的分布函数为:,即 FM(z) = FX(z) FY(z) .,FM(z)=P(Mz) = P(Xz, Yz),= P(Xz) P(Yz) .,分析：由于 “M = max (X,Y) z” 等价于“Xz, Yz”，故有,P(Mz) = P(Xz, Yz).,类似地，可得 N = min (X,Y) 的分布函数,下面进行推广到 n 个相互独立的随机变量的情况。,即有 FN(z) = 1-1-FX(z)1-FY(z) = FX(z)+FY(z)-FX(z)FY(z) .,= 1-P(Xz, Yz),FN(z) = P(Nz) = 1-P(Nz),= 1- P(Xz) P(Yz) .,设X1, , Xn 是 n 个相互独立的随机变量,分布函数分别为,用与二维时完全类似的方法，可得：,N = min(X1,Xn)的分布函数为,M = max(X1,Xn)的分布函数为,特别地，当X1, , Xn相互独立，且具有相同分布函数 F(x) 时，有,FM(z)=F(z) n ， FN(z)=1-1-F(z) n .,需要指出的是: 当X1, , Xn相互独立，且具有相同分布函数 F(x) 时，常称,M=max(X1,Xn)，N=min(X1,Xn),为极值分布。,桥梁或铸件所承受的最大应力、洪峰的高度、地震的震级等都用极值分布来描述。故，研究极值分布有重要意义。,例 6：如图所示, 系统L 由两个相互独立的子系统 L1,L2 联接而成, 联接方式分别为: (1). 串联； (2). 并联； (3). 备用(开关完全可靠，子系统 L2在储备期内不失效，当L1.损坏时, L2开始工作)。,解：先求X, Y的分布函数,设L1,L2的寿命分别为X和Y，概率密度分别为:,其中0, 0, 且为常数。分别对以上三种联接方式写出系统寿命Z 的概率密度。,(1). 串联时，Z = minX, Y， FZ(z)=1-1-FX(z)1-FY(z),(2). 并联时， Z = maxX,Y FZ(z) = FX(z)FY(z),当 z 0时，有,(3). 备用时， Z=X+Y，,当 z0 时，fZ(z) = 0；,习题：对某种电子装置的输出测量了5次，得到观察值X1， X2， X3， X4， X5 。设它们是相互独立的随机变量，且有相同的概率密度函