概率论与数理统计第三章方差.ppt

方 差,前面说到评判一批水泥板的质量问题若它们平均承受力较大，比如1000kg，但其中可能有一部分水泥板的承受力在1800kg以上，而另一部分的承受力不足200kg这批水泥板的承受力与平均值1000kg的偏离程度较大，质量不稳定、较差，不能被用于建造房屋，否则会发生事故那么，我们该用什么量去衡量这个偏离程度呢？对于随机变量X，虽然量E|XE(X)|能度量X与其均值E(X)的偏离程度，但它带有绝对值，运算不方便为了运算方便，通常使用量,来度量X与其均值E(X)的偏离程度,引例 甲、乙两射手各打了6 发子弹,每发 子弹击中的环数分别为：,甲 10, 7, 9, 8, 10, 6,乙 8, 7, 10, 9, 8, 8,问哪一个射手的技术较好？,解 首先比较平均环数,E(甲) = 8.3,E(乙) = 8.3,再比较稳定程度,甲：,乙：,乙比甲技术稳定，故乙技术较好.,进一步比较平均偏离平均值的程度,甲,乙,E X - E(X)2,定义 设X是随机变量，若E X E(X)2 存在, 则称其为 X 的方差,记为Var(X ) 或 Var (X) (deviation variance),即 Var (X ) = E XE(X)2,Var(X ) 描述 r.v. X 的取值偏离平均值 的平均偏离程度 数值,若 X 为离散型 r.v.，分布律为,若 X 为连续型r.v. ，概率密度为 f (x),例1 设 X 的概率密度如下， 求 Var(X),解,由方差的定义知,例2 设 X N ( , 2), 求 Var( X ),解 由方差的定义知,令,那么,方差的计算,计算方差的常用公式：,证明：因为,Var (X ) = E XE(X)2 (由r.v.函数的数学期望) = E X22E(X) X + E(X) 2 = E (X2 ) 2E(X) E(X) + E(X) 2 = E (X2 ) E(X) 2,例3 设随机变量X具有期望E(X)=，标准差(X)= ，记,求证 E(X*)=0,Var(X)=1.,证明 由数学期望的性质，得,标准化变量,设随机变量 X 的期望E(X )、方差Var(X ) 都存在, 且Var(X ) 0, 则称,为 X 的标准化变量. 那么,例4 设X P (), 求Var( X ).,解一,解二,所以,例5 设X U(a , b)，求Var(X ).,解 Var (X)=E(X2)-E2(X)=,例6 设X服从参数为的指数分布 ，求Var(X ).,解 因为E (X )= 1/. E2(X )= 1/2,故,常见随机变量的方差,区间(a,b)上 的均匀分布,Exp(),N(, 2),1.Var (C) = 0,2.Var (aX ) = a2Var(X),Var(aX+b ) = a2Var(X),3.对任意常数C, Var (X ) E(X C)2 , 当且仅当 C = E(X )时等号成立,4. Var (X ) = 0,P X = E(X)=1,称为X 依概率 1 等于常数 E(X),性质 1 的证明：,性质 2 的证明：,性质 3 的证明：,当C = E(X )时，显然等号成立；,当C E(X )时，,例6 设随机变量X具有概率密度函数,求E (6X2)和 Var(6X2),解：首先计算X的数学期望,于是,又,从而,利用方差的性质，得,仅知 r.v.的期望与方差并不能确定其分布,与,有相同的 期望方差 但是分布 却不相同,例如,例7 已知 X 服从正态分布, E(X ) = 1.7, Var(X ) = 3, Y =1 2 X , 求Y 的密度函数.,解,在已知某些分布类型时,若知道其期望和方差,便常能确定分布.,3.3分位数,定义3.3.1 设X是连续随机变量，0p1若实数 xp满足 F(xp)=PX xp=p,则称xp是X（或X服从的分布）的p分位数或p分位点当 p =0.5时，称x0.5为X的中位数,若用X的概率密度函数f(x)来表达，则有,若XN(,2)，如图下所示，阴影部分面积为,例3.3.1 设随机变量X的概率密度函数为,求X的0.90分位数 x0.90,解 X的分布函数,由,解得 x0.90=3ln0.10=3ln10=6.9078,对于标准正态分布XN(0,1) ，常用up表示其p分位数根据其概率密度函数的对称性易知 up =u1p，见下图,下面列出了几个常用的标准正态分布的p分位数up的值 它的中位数是0,标准正态分布的p分位数,p分位数表是教材中给出标准正态分布表的逆运算。,分位数在实际问题中是常用的例如，旅客在机场排队领取登机牌，若要求95%的旅客能在15分钟内领到，那么，15就是旅客排队时间（单位为分钟）这一随机变量X的0.95分位数x0.95； 又如，在生产车间机器设备发生故障需要维修，若要求90%的故障在30分钟内完成维修，那么，30就是维修时间（单位为分钟）这一随机变量X的0.90分位数x0.90 ,与数学期望一样，中位数也是描述随机变量的位置特征在实际中，中位数也常用例如，假设某一年上海市就业的大学毕业生当年的月薪金的中位数是2100元，这表明上海市该年大学毕业生中有将近半数人月薪金不高于2100元，另外将近半数人月薪金则不低于2100元 与数学期望相比，中位数总存在，但数学期望不一定存在这是它的优点中位数的缺点是，它没有象数学期望那样好的运算性质,众数 定义 设离散随机变量X 的分布律为 PX=xk=pk, k =1, 2, 3, . 若存在实数x* , 使得对每个k =1, 2, 3, , 有 PX=x P X=xk , 则称x* 为X(或X 服从的分布)的众数. (2) 设连续随机变量X 的概率密度函数为f (x), 若存在实数x* , 使得对一切xR 有 f(x*)f(x), 则称x* 为X(或X 服从的分布)的众数.,作业 P82 习题3.2,1，2，3，4,例5 设