概率论与数理统计第七章2.ppt

ch7-1,1,区 间 估 计,ch7-1,2,区间估计要求根据样本给出未知参数的一个范围，并保证真参数以指定的较大概率属于这个范围。,1. 置信区间与置信度,ch7-1,3,1. 寻找一个样本的函数,它含有待估参数, 不含其它未知参数, 它的分布已知, 且分布不依赖于待估参数,具有这种性质的函数称为枢轴量.,求置信区间的步骤,ch7-1,4,2. 给定置信度 1 ,定出常数 a , b ,使得,3. 由,解出T1T2,得置信区间(T1,T2),ch7-1,5,正态总体均值和方差的区间估计,ch7-1,6,(一) 单正态总体 X N ( 2)的情形,(1) 方差 2已知, 的置信区间,由于,选取枢轴量,ch7-1,7,由,确定,解,得 的置信度为1 的置信区间为,ch7-1,8,例已知某批零件的长度X服从正态分布N(, 4), 现从这批产品中随机抽取9件，抽取的9件产品的平均长度为12.35厘米，求总体均值的95%置信区间.,解:本例中，样本容量n=9，样本均值,总体标准差=2，1-=0.95， =0.05， 查表3.3.1或附表1可知，u1-/2 = u 0.975=1.96，代入公式,可得所求的置信区间为,ch7-1,9,(2) 方差 2未知 , 的置信区间,由,确定,故 的置信区间为,选取枢轴量,ch7-1,10,例 假设人的身高服从正态分布N(，2) .今从大学一年级学生中随机抽查10名女生，测得其身高如下(单位：厘米)： 162，159.5，168，160，157，162，163.4，158.5， 170.3，166. 求大一女生身高均值的95%置信区间.,解:本例中， 方差2 未知，欲求均值 的置信区间.样本容量n=10，样本均值,样本方差S2=18.43，1-=0.95， =0.05， 查附表2可知，t1-/2(9) = t 0.975 (9) =2.262，代入公式,可得所求的置信区间为,ch7-1,11,(3*) 当 已知时, 方差 2 的 置信区间,取,得 2 的置信度为 1置信区间为,由概率,ch7-1,12,(4) 当 未知时, 方差 2 的置信区间,选取枢轴量:,得 2 的置信区间为,在做区间估计时,满足式Pa2b1 的区间(a,b)一般不是唯一的，我们常采用其中满足P2 a= Pb2 /2, 于是：,ch7-1,13,例 某自动包装机包装的洗衣粉重量服从正态分布N(,2), 今随机抽查12袋，测得其重量(单位：克)分别为： 1001，1004，1003，997，999，1000， 1004，1000，996， 1002，998，999. 求2的置信水平为0.95的置信区间.,解:本例中 未知， 2的置信水平为1的置信区间如.,其中n=12,计算得：(n1)s2=116.932=76.25.又 =1 0.95=0.05, 查自由度为11的 2分布分位数表,得,ch7-1,14,得2的0.95置信区间为 (3.48,19.98),将上述结果代入公式,ch7-1,15,(X1, X1, , Xn)为取自总体X N ( 1 12 ) 的样本,置信度为 1 。,分别表示两样本的均值与方差。,(二) 两个正态总体的情形,(Y1, Y1, , Ym)为取自总体 Y N ( 2 22 ) 的样本,ch7-1,16,相互独立,的置信区间为,(一) 12，22已知, 1 2 的置信区间,ch7-1,17,(二) 12,22 未知(但12=22=2 )12的置信区间,ch7-1,18,12,22 未知(但12=22=2 )时，12的置信区间,ch7-1,19,取,(3) 方差比,的置信区间 ( 其中1 , 2 未知),因此, 方差比,的置信区间为,ch7-1,20,取,(4) 方差比,的置信区间 ( 1 , 2 已知),ch7-1,21,因此, 方差比,的置信区间为,ch7-1,22,例2 某厂利用两条自动化流水线罐装番 茄酱. 现分别 从两条流水线上抽取了容量 分别为13与17的两个相互独立的样本,与,已知,假设两条流水线上罐装的番茄酱的重量都服从正态分布, 其均值分别为 1与 2.,ch7-1,23,(1) 若它们的方差相同,求均值,若不知它们的方差是否相同, 求它们的,方差比的置信度为 0.95 的置信区间,的置信度为0.95 的置信区间;,差,ch7-1,24,解,查表得,由公式(6) 的置信区间为,(1) 取,ch7-1,25,(2) 取,查表得,由公式(9)得方差比 的置信区间为,ch7-1,26,单个总体,两个总体,ch7-1,27,三、单侧置信限,前面讨论的是未知参数的置信区间均为有限区间，即参数的置信上限和置信下限均取有限值，这类置信区间也称为双侧置信区间. 而在有些实际问题中，有时我们只关心未知参数的置信上限或置信下限.例如对于设备、元件等的寿命，平均寿命越长越好，因此我们只关注平均寿命的下限. 而对另外一些问题，我们关注的是其上限，对于如产品的次品率等.下面我们引出单侧置信限的概念.,ch7-1,28,定义 设是总体X的分布中的一个待估参数，(X1,X2,Xn) 为X的一个样本.若对给定的常数 (011. 则称为1参数的置信水平为1的单侧置信下限. 反之，若统计量 2= 2 (X1,X2,Xn) 对一切 都满足： P 21. 则称为2参数的置信水平为1的单侧置信上限.,ch7-1,29,寻找参数的单侧置信限，亦可用枢轴量法，并且，对同一总体中的同一参数，求单侧置信限与求双侧置信区间可用同一个枢轴量，方法如下： (1)选择枢轴量Y= g(X1,Xn, ;),使其含有待估参数，而不包含其它未知参数.Y的分布已知. (2)对于给定的置信水平1 ，根据Y的分布，确定常数c或d，使得 PcY 1 ，或PY d 1. (3)对随机事件cg(X1,Xn, ;),或g(X1,Xn, ;) d 作等价变形,得到其等价事件的概率，求得置信上、下限。,ch7-1,30,例 设某工厂生产的灯泡使用时数X服从正态分布N(，2)，现观察20个灯泡的使用时数，计算得样本均值为1832，样本标准差s=510,试求灯泡使用时数均值 的置信水平为95%的单侧置信下限.,解:由于总体X的分布N(，2) 中方差2 未知，故选择枢轴量 :,注意到t为 的单调递减函数，所以令Ptd=1,即,ch7-1,31,由t分布分位数定义知d为t(n1) 分布的1分位数，即 d=t1 (n 1)，由不等式,得,于是，这批灯泡中约有95%的寿命大于1634.81小时.,ch7-1,32,练习 某工厂生产一批滚珠, 其直径 X 服从正态分布,解 (1),即,N( 2), 现从某天的产品中随机抽取 6 件, 测得直径为,(1) 若 2=0.06, 求 的置信区间; (2) 若 2未知,求 的置信区间; (3) 求方差 2的置信区间.,15.1 , 14.8 , 15.2 , 14.9 , 14.6 , 15.1,在置信度均为0.95的情况下。,ch7-1,33,由给定数据算得,由公式 得 的置信区间为,(2)若 2未知, 取,查表,由给定数据算得,ch7-1,34,由公式 得 2 的置信区间为,(3) 选取,查表得,由公式 得 的置信区间为,ch7-1,35,作业 P.209 习题 1,2,3,4，9,ch7-1,36,(0-1)分布参数的区间估计,对于来自(0-1)分布的总体X，对参数p作出区间估计，常采用大样本，容量n50。具体为： 设X的分布律为： f(x;p)=px(1p)1x, x=0,1. 其中p为未知参数，现求的置信水平为1的置信区间。,已知(0-1)分布的均值和方差分别为： p，2 p(1p),ch7-1,37,设X1,X2,Xn为一个样本，当样本容量n较大时，由中心极限定理,即,ch7-1,38,于是,通过解不等式：,即可得p的置信区间。,ch7-1,39,例 设 X 服从参数为 p 的0-1分布, 样本为,求 p 的置信度为 1 的置信区间,解,( n 50 ).,(近似),ch7-1,40,令,所以参数 p 的置信区间为( p1, p2 ),ch7-1,41,例如 自一大批产品中抽取100个样品,其中有60个一级品, 求这批产品的一级品率 p 的置信度为0.95的置信区间.,p 的置信区间为,ch7-1,42,(三) 单侧置信区间,定义 对于给定的 (0 1) , 是待估参数,是总体 X 的样本,若能确定一个统计量,使得,则称,为置信度为1 的单侧置信区间.,单侧置信下限，,单侧置信上限,ch7-1,43,例3 已知灯泡寿命X 服从正态分布, 从中随机抽取 5 只作寿命试验, 测得寿命为 1050 , 1100 , 1120 , 1250 , 1280 (小时) 求灯泡寿命均值的单侧置信下限与寿命方差的单侧置信上限.,解,未知,取0.05,ch7-1,44,(1) 估计均值：选取,ch7-1,45,(2) 估计方差： 选取,ch7-1,46,设X服从正态分布N ( 2) ，现测量16次，算得,，s=0.04，试求的置信度为0.95的双侧,置信区间。,练习：,方差 2未知 , 的置信区间为,(2.705t0.05/2(15) 0.2/4 ，2.705t0.05/2(15) 0.2/4) (2.5984，2.8116),ch7-1,47,当置信区间为,时,区间的长度为, 达到最短,ch7-1,48,取 = 0.05,ch7-1,49,引例 已知 X N ( ,1),不同样本算得的 的估计值不同，因此除了给出 的点估计外, 还希望根据所给的样本确定一个随机区间, 使其包含参数真值的概率达到指定的要求., 的无偏、有效点估计为,随机变量,常数,ch7-1,50,设 n = 5 ，要找一个区间,使其包含 的真